Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

12
где величина
ξ зависит от значения переменной
.
x
Каждая интерполяционная формула (1)–(2) определяется распо-
ложением узлов
).,,1( nix
i
K=
Простейшим случаем является тот,
когда функция )(xf дана на равноотстоящих точках. Пусть отрезок
интегрирования ],[ ba конечный, и предположим, что он разделен
на n равных частей с шагом
.
)(
n
ab
h
−
= Будем считать, что интег-
рируемая функция )(xf известна в точках
.khax
k
+
=
Если все
),,1,0( nkx
k
K= без исключения принять за узлы квадратурной фор-
мулы, то формула будет иметь следующий вид:
∫
∑
=
+≈
b
a
n
k
k
khafAdxxfxp
0
),()()( (4)
∫
−
−−
+
−
−
−=
−
n
kn
k
dt
kt
nttt
htap
knk
abA
0
.
)()1(
)(
)!(!
)1(
)(
K
Числа
k
B , определенные последним равенством, не зависят от
промежутка интегрирования, и для них могут быть составлены таб-
лицы значений в случае наиболее часто встречающихся весовых
функций )(xp . Формулу (4) называют формулой Котеса.
Если весовая функция 1)(
=
xp , то квадратурная формула имеет
вид
∫
∑
=
++−=
b
a
n
k
k
RkhafBabdxxf
0
.)()()( (5)
Котесом были вычислены
k
B для 10)1(1
=
n (таблица).
Если число узлов
1+n
в формуле Котеса (5) нечетное, то алгеб-
раическая степень точности формулы равна
1
+
n и остаток
R
пред-
ставим в виде
∫
+
=
b
a
n
dxxKxfR ,)()(
)2(
где величина ξ зависит от значения переменной x.
    Каждая интерполяционная формула (1)–(2) определяется распо-
ложением узлов xi (i = 1, K, n). Простейшим случаем является тот,
когда функция f (x) дана на равноотстоящих точках. Пусть отрезок
интегрирования [a, b] конечный, и предположим, что он разделен
на n равных частей с шагом h = (b − a) . Будем считать, что интег-
                                         n
рируемая функция f (x) известна в точках xk = a + kh. Если все
 xk (k = 0, 1, K, n) без исключения принять за узлы квадратурной фор-
мулы, то формула будет иметь следующий вид:
                    b                     n

                    ∫ p( x) f ( x)dx ≈ ∑ Ak f (a + kh),
                                         k =0
                                                                            (4)
                    a

                          ( −1) n−k
                                     n
                                                   t (t − 1)K (t − n)
         Ak = (b − a )               ∫
                         k!(n − k )! 0
                                       p (a + ht )
                                                           t−k
                                                                      dt.

   Числа Bk , определенные последним равенством, не зависят от
промежутка интегрирования, и для них могут быть составлены таб-
лицы значений в случае наиболее часто встречающихся весовых
функций p (x) . Формулу (4) называют формулой Котеса.
   Если весовая функция p ( x) = 1 , то квадратурная формула имеет
вид
                b                         n

                ∫   f ( x)dx = (b − a )∑ Bk f (a + kh) + R.                 (5)
                a                        k =0

  Котесом были вычислены Bk для n = 1(1)10 (таблица).
   Если число узлов n + 1 в формуле Котеса (5) нечетное, то алгеб-
раическая степень точности формулы равна n + 1 и остаток R пред-
ставим в виде
                                 b
                            R = ∫ f ( n + 2 ) ( x) K ( x)dx,
                                 a




                                          12

Страницы