Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

9
Формула трапеций
Перейдем к другому способу построения квадратурных формул,
связанному с аппроксимацией подынтегральной функции на задан-
ном интервале ],[ ba . Иллюстрацией к этому методу может служить
рис. 3. Представим функцию в виде
[]
).,(;
2
)(
))(()()()()( ba
f
bxaxafbf
ab
ax
afxf ∈η
η
′
′
−−−−
−
−
+=
Рис. 3
Интегрируя правую и левую части этого равенства и используя
вторую теорему о среднем значении функции при интегрировании
последнего слагаемого правой части, получаем:
[]
∫
∈ηη
′′
−
−+
−
=
b
a
baf
ab
afbf
ab
dxxf ).,();(
12
)(
)()(
2
)(
3
Таким образом, предполагая, что отрезок интегрирования мал,
получаем квадратурную формулу, называемую формулой трапеций:
[]
∫
=+
−
≈=
b
a
Ibfaf
ab
dxxfI
2
)()(
2
)( (6)
с остаточным членом
).,();(
2
)(
][
3
2
baf
ab
IIfR ∈ηη
′′
−
−=−= (7) 
                                Формула трапеций
   Перейдем к другому способу построения квадратурных формул,
связанному с аппроксимацией подынтегральной функции на задан-
ном интервале [a, b] . Иллюстрацией к этому методу может служить
рис. 3. Представим функцию в виде

    f ( x) = f (a) +
                     x−a
                         [ f (b) − f (a)] − ( x − a)( x − b) f ′′(η) ; η ∈ (a, b).
                     b−a                                        2




                                            Рис. 3
   Интегрируя правую и левую части этого равенства и используя
вторую теорему о среднем значении функции при интегрировании
последнего слагаемого правой части, получаем:
         b                                               3
                           b−a
         ∫   f ( x) dx =       [ f (b) + f (a)] − (b − a) f ′′(η); η ∈ (a, b).
         a
                            2                        12
   Таким образом, предполагая, что отрезок интегрирования мал,
получаем квадратурную формулу, называемую формулой трапеций:
                            b
                                        b−a
                     I = ∫ f ( x)dx ≈       [ f (a) + f (b)] = I 2               (6)
                            a
                                         2
с остаточным членом
                                          (b − a) 3
                   R[ f ] = I − I 2 = −             f ′′(η); η ∈ (a, b).         (7)
                                              2



                                              9

Страницы