Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

7
Лабораторная работа № 1
Простейшие квадратурные формулы
Формула прямоугольников
Как известно, определенный интеграл в силу своего построения
есть предел интегральных сумм:
∫
∑
=
→
ξ=
b
a
n
i
ii
h
fhdxxf
i
1
0max
),(lim)( (1)
каждая из которых соответствует некоторому разбиению
n
D :
bxxxa
n
=<<<= L
10
отрезка ],[ ba и произвольному набору точек
],[
1 iii
xx
−
∈ξ
для каждого разбиения;
.
1−
−
=
iii
xxh
Ограничиваясь конечным числом слагаемых в правой части ра-
венства (1) и принимая в качестве набора
i
ξ
те или иные значения
аргумента из отрезков
],[
1 ii
xx
−
, получим соответственно формулу
левых
или правых прямоугольников :)const
)(
( =
−
=
n
ba
h
i
∫
∑
−
−
=−≈=
b
a
n
i
l
i
I
n
f
abdxxfI
1
0
,)()( (2)
∫
∑
=
=−≈=
b
a
n
i
p
i
I
n
f
abdxxfI
1
.)()( (3)
Названия этих формул связаны с их геометрической интерпрета-
цией. Если в плоскости
xOy построить кривую )(xfy
=
, разбить
отрезок ],[ ba на n частей точками
i
x сетки
n
D , то формула левых
прямоугольников в качестве приближенного значения интеграла даст
суммарную площадь заштрихованных прямоугольников на рис. 1, а
формула правых прямоугольников – суммарную площадь заштрихо-
ванных прямоугольников на рис. 2. 
                  Лабораторная работа № 1
        Простейшие квадратурные формулы
                 Формула прямоугольников
   Как известно, определенный интеграл в силу своего построения
есть предел интегральных сумм:
                     b                       n

                     ∫ f ( x)dx = maxlim
                                       h →0
                                            ∑ hi f (ξi ),            (1)
                     a                   i  i =1

каждая из которых соответствует некоторому разбиению Dn :
a = x0 < x1 < L < xn = b отрезка [a, b] и произвольному набору точек
ξi ∈ [ xi−1 , xi ] для каждого разбиения; hi = xi − xi −1.
    Ограничиваясь конечным числом слагаемых в правой части ра-
венства (1) и принимая в качестве набора ξ i те или иные значения
аргумента из отрезков [ xi −1 , xi ] , получим соответственно формулу
левых или правых прямоугольников (hi = (a − b) = const ) :
                                                  n
                             b                   n −1
                                                         fi
                    I = ∫ f ( x)dx ≈ (b − a )∑              = Il ,   (2)
                             a                   i −0    n
                         b                       n
                                                        fi
                   I = ∫ f ( x)dx ≈ (b − a)∑               = I p.    (3)
                         a                   i =1       n
   Названия этих формул связаны с их геометрической интерпрета-
цией. Если в плоскости xOy построить кривую y = f ( x) , разбить
отрезок [a, b] на n частей точками xi сетки Dn , то формула левых
прямоугольников в качестве приближенного значения интеграла даст
суммарную площадь заштрихованных прямоугольников на рис. 1, а
формула правых прямоугольников – суммарную площадь заштрихо-
ванных прямоугольников на рис. 2.




                                     7

Страницы