Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

15
.)(
12
)(
)()(
2
)(
3
∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ξ
′′
−
−+
−
=
b
a
f
ab
bfaf
ab
dxxf (8)
Это простейшая квадратурная формула – «формула трапеций».
Она имеет малую точность. Остаточный член
)(
12
)(
3
ξ
′′
−
−= f
ab
R
содержит множитель
3
)( ab − , и если вторая производная f
′′
– мало
изменяющаяся функция, то при уменьшении длины отрезка ин-
тегрирования ab − в k раз, остаток
R
уменьшится приблизительно
в
3
k раз. Этим можно воспользоваться для повышения точности
результата.
Разделим отрезок ],[ ba на некоторое число n равных частей дли-
ны nabh /)(
−
= (рис. 1).
x
0
x
1
x
i
x
i+1
x
n
x
2
ba
y
x0
h
}
h
}
h
}
h
}
h
}
h
}
h
}
y
n
y
i
y
1
y
0
y = f(x)
Рис. 1
Если простейшую формулу трапеций применить к каждому из
частичных отрезков и сложить результаты, получим общую «форму-
лу трапеций»:
),(
12
)(
2
1
2
1
)(
3
3
1210
ξ
′′
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+++++
−
=
∫
−
f
n
ab
fffff
n
ab
dxxf
b
a
nn
K
(9) 
                             b−a ⎡                                   ⎤
            b
                                                   (b − a )3
            ∫   f ( x)dx =
                              2 ⎣
                                 ⎢ f (a) + f (b) −
                                                      12
                                                             f ′′(ξ) ⎥.
                                                                     ⎦
                                                                               (8)
            a

  Это простейшая квадратурная формула – «формула трапеций».
Она имеет малую точность. Остаточный член
                                        (b − a) 3
                                 R=−              f ′′(ξ)
                                           12
содержит множитель (b − a) 3 , и если вторая производная f ′′ – мало
изменяющаяся функция, то при уменьшении длины отрезка ин-
тегрирования b − a в k раз, остаток R уменьшится приблизительно
в k 3 раз. Этим можно воспользоваться для повышения точности
результата.
   Разделим отрезок [a, b] на некоторое число n равных частей дли-
ны h = (b − a) / n (рис. 1).

                       y                            y = f(x)




                               y0 y1         yi        yn


                                h h h h h h h
                              }
                              }
                              }
                              }
                              }
                              }
                              }



                        0     x0 x1 x2 xi xi+1 xn              x
                              a                b
                                          Рис. 1

   Если простейшую формулу трапеций применить к каждому из
частичных отрезков и сложить результаты, получим общую «форму-
лу трапеций»:
 b
                b − a ⎡1                                1 ⎤ (b − a ) 3
 ∫ f ( x)dx =     n ⎢⎣ 2
                         f 0 + f 1 + f 2 + K + f n −1 +  fn −
                                                        2 ⎥⎦  12n 3
                                                                       f ′′(ξ), (9)
 a




                                           15

Страницы