Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

16
).( khaff
k
+
=
При
2
=
n
формула (7) приводит к простейшему правилу парабол
(рис. 2), т. е. к формуле Симпсона:
[]
∫
ξ−
−+++
−
=
b
a
fab
bfhafaf
ab
dxxf ;
90
)(
2
)(
)()(4)(
6
)(
)(
)4(5
.,
2
)(
ba
ab
h <ξ<
−
=
Рис. 2
Соответствующая общая «формула парабол» имеет вид
∫
++++++
−
=
−
b
a
nn
fffff
n
ab
dxxf )(2[
3
)(
2420
K
).(
180
)(
)](4
)4(
4
5
131
ξ
−
−++++
−
f
n
ab
fff
n
K (10)
Число n должно быть четным.
Для 3
=
n из формулы (7) получается ньютоново «правило трех
восьмых» в его простейшем виде
),(
6480
)(
)(
8
1
)2(
8
3
)(
8
3
)(
8
1
)()(
)4(
5
ξ
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+++++−=
∫
f
ab
bfhafhafafabdxxf
b
a
                                      f k = f (a + kh).
   При n = 2 формула (7) приводит к простейшему правилу парабол
(рис. 2), т. е. к формуле Симпсона:
      b                                                                5 ( 4)
                       (b − a)
      ∫   f ( x)dx =           [ f (a) + 4 f (a + h) + f (b)] − (b − a) f (ξ) ;
      a
                          6                                         2     90
                                      (b − a )
                                 h=            , a < ξ < b.
                                         2




                                           Рис. 2

    Соответствующая общая «формула парабол» имеет вид
              b
                             b−a
              ∫ f ( x)dx =    3n
                                 [ f 0 + f n + 2( f 2 + f 4 + K + f n − 2 ) +
              a

                                                    (b − a) 5 ( 4 )
                   + 4( f1 + f 3 + K + f n−1 )] −            f (ξ).               (10)
                                                     180n 4
Число n должно быть четным.
   Для n = 3 из формулы (7) получается ньютоново «правило трех
восьмых» в его простейшем виде
b                                                                            5
                     ⎡1         3             3              1      ⎤ (b − a) (4)
∫ f ( x)dx = (b − a) ⎢8
                     ⎣
                        f (a) +
                                8
                                  f (a + h) +
                                              8
                                                f (a + 2h) +
                                                             8
                                                               f (b)⎥ 6480 f (ξ),
                                                                    ⎦
                                                                      −
a




                                            16

Страницы