Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

36
Метод Монте-Карло
Одним из методов приближенного вычисления значений интегра-
лов, при котором погрешность оценивается не гарантированно, а
лишь с некоторой степенью достоверности, является метод Монте-
Карло.
Пусть требуется вычислить приближенное значение интеграла
∫∫
=
)(
.)()(
G
dPPffI
Предположим, что каким-то образом удалось получить N слу-
чайных попарно независимых точек
,,,
1 N
PP K
равномерно распреде-
ленных в .G Обозначим через )(sM математическое ожидание слу-
чайной величины
,
s
а через )(sD – ее дисперсию. Случайные вели-
чины )(
jj
Pfs
=
попарно независимы и одинаково распределены,
причем
∫∫
==
)(
)()()(
G
j
fIdPPfsM
и
),())(()()(
22
fDsMsMsD
jjj
=−=
где
.))(()()(
22
fIfIfD −=
Положим,
∑
=
=
N
j
jN
s
N
fS
1
.
1
)(
Учитывая свойства величин ,
j
s имеем:
∑
=
==
N
j
yN
fIsM
n
fSM
1
),()(
1
))((
∑
=
==
N
j
jN
fD
N
sND
N
fSD
1
2
).(
1
)(
1
))(( 
                       Метод Монте-Карло
   Одним из методов приближенного вычисления значений интегра-
лов, при котором погрешность оценивается не гарантированно, а
лишь с некоторой степенью достоверности, является метод Монте-
Карло.
   Пусть требуется вычислить приближенное значение интеграла
                              I( f ) =    ∫∫ f ( P)dP.
                                          (G )

   Предположим, что каким-то образом удалось получить N слу-
чайных попарно независимых точек P1 ,K , PN , равномерно распреде-
ленных в G. Обозначим через M (s ) математическое ожидание слу-
чайной величины s, а через D(s ) – ее дисперсию. Случайные вели-
чины s j = f ( Pj ) попарно независимы и одинаково распределены,
причем
                     M (s j ) =    ∫∫ f ( P)dP = I ( f )
                                   (G )

и
                   D( s j ) = M ( s 2j ) − ( M ( s j )) 2 = D ( f ),
где
                       D( f ) = I ( f 2 ) − ( I ( f )) 2 .
    Положим,
                                                 N
                                          1
                         SN ( f ) =
                                          N
                                              ∑s .
                                              j =1
                                                     j


    Учитывая свойства величин s j , имеем:
                                              N
                                          1
                    M ( S N ( f )) =
                                          n
                                              ∑ M (s
                                              j =1
                                                         y)   = I ( f ),

                                          N
                                   1                            1
                 D( S N ( f )) =
                                   N2
                                          ∑ ND(s ) = N D( f ).
                                          j =1
                                                         j




                                              36

Страницы