Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 34 стр.

сторон прямоугольника R ; σ 2 = f ( x1 , y1 ) – значение функции f ( x, y )
в центре прямоугольника.
   Если размеры прямоугольника R велики, то для увеличения точ-
ности кубатурной формулы область R разбивают на систему прямо-
угольников, к каждому из которых применяют кубатурную формулу
Симпсона.
   Положим, что стороны прямоугольника R разделили на n и m
равных частей; в результате получилась относительно крупная сеть
nm прямоугольников. Каждый из этих прямоугольников, в свою
очередь, разделим на четыре равные части. Вершины этой мелкой
сети примем за узлы M ij кубатурной формулы. Пусть
                          A−a          B−b
                                 и k=  h=  .
                           2n          2m
   Тогда сеть узлов будет иметь следующие координаты:
                             xi = x0 + ih( x0 = a; i = 0, 1, 2, K, 2n)
                         и yi = y0 + jk ( y0 = b; j = 0, 1, 2, K, 2m).
   Для сокращения введем обозначение
                                                 f ( xi , y j ) = f ij .
   Применяя формулу (10) к каждому из прямоугольников крупной
сети, будем иметь:

                                       ∑∑ [( f
                                        n    m
                                 hk
    ∫∫
    (r )
           f ( x, y )dxdy =
                                  9    i =0 j =0
                                                      2i , 2 j    + f 2i + 2, 2 j + f 2i +2, 2 j + 2 + f 2i , 2 j +2 ) +


            + 4( f 2i +1, 2 j + f 2i + 2, 2 j +1 + f 2i +1, 2 j + 2 + f 2i , 2 j +1 ) + 16 f 2i +1, 2 j +1 .  ]
   Отсюда окончательно находим квадратурную формулу Симпсона:
                                                                 2n 2m
                                                      hk
                                 ∫∫    f ( x, y ) =
                                                       9
                                                             ∑∑ λi =0 j =0
                                                                             ij f ij ,                                     (12)
                                 (R)

где коэффициенты λ ij являются соответствующими элементами
матрицы



                                                          34