Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

33
Каждый из промежутков ],[ Aa и ],[ Bb разобьем пополам точ-
ками
;2,,
210
Ahaxhaxax
=
+
=
+
=
=
,2,,
210
Bkbykbyby
=
+
=
+
=
=
где
.
2
,
2
bB
k
aA
h
−
=
−
=
Всего получим девять точек ).2,1,0,)(,(
=
jiyx
ji
Имеем
∫∫ ∫ ∫
=
)(
.),(),(
R
A
a
B
b
dyyxfdxdxdyyxf
(9)
Вычисляя внутренний интеграл по квадратурной формуле Симп-
сона, находим:
∫∫ ∫
=++=
)(
210
)],(),(4),([
3
),(
R
A
a
dxyxfyxfyxf
k
dxdyyxf
.),(),(4],(
3
210
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++=
∫∫∫
A
a
A
a
A
a
dxyxfdxyxfdxyxf
k
Применяя к каждому интегралу снова формулу Симпсона, полу-
чим:
[
∫∫
++++=
)(
22200200
)],(),(),(),([
9
),(
R
yxfyxfyxfyxf
hk
dxdyyxf
]
),(16)],(),(),(,([4
1121121001
yxfyxfyxfyxfyxf
+
+
+
++
. (10)
Формулу (10) будем называть кубатурной формулой Симпсона.
Следовательно,
∫∫
σ+σ+σ=
)(
210
),164(
9
),(
R
hk
dxdyyxf (11)
где
0
σ – сумма значений подынтегральной функции ),( yxf в вер-
шинах прямоугольника
R
;
1
σ
– сумма значений ),( yxf в серединах 
   Каждый из промежутков [a, A] и [b, B] разобьем пополам точ-
ками
                             x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h = A;
                             y0 = b, y1 = b + k , y 2 = b + 2k = B,
где
                     A−a                 B−b
                          ,     h=k=            .
                       2                   2
  Всего получим девять точек ( xi , y j )(i, j = 0, 1, 2). Имеем
                                                      A       B

                             ∫∫
                             (R)
                                                      ∫ ∫
                                   f ( x, y )dxdy = dx f ( x, y )dy.
                                                      a       b
                                                                                                      (9)

   Вычисляя внутренний интеграл по квадратурной формуле Симп-
сона, находим:
                                        A
                                      k
           ∫∫
           (R)
                 f ( x, y ) dxdy =
                                      3a∫[ f ( x, y0 ) + 4 f ( x, y1 ) + f ( x, y2 )]dx =


                      k⎡                                                   ⎤
                           A                A               A
                  =      ∫                       ∫                    ∫
                         ⎢ f ( x, y0 ]dx + 4 f ( x, y1 )dx + f ( x, y2 )dx ⎥.
                      3 ⎣⎢ a                a               a              ⎦⎥
  Применяя к каждому интегралу снова формулу Симпсона, полу-
чим:
                     hk
  ∫∫ f ( x, y)dxdy = 9 [[ f ( x , y ) + f ( x , y ) + f ( x , y ) + f ( x , y )] +
  (R)
                                         0   0            2       0       0   2          2       2



      + 4[ f ( x1 , y0 + f ( x0 , y1 ) + f ( x2 , y1 ) + f ( x1 , y 2 )] + 16 f ( x1 , y1 )] .       (10)
  Формулу (10) будем называть кубатурной формулой Симпсона.
Следовательно,
                                                     hk
                          ∫∫ f ( x, y)dxdy =
                          (R)
                                                      9
                                                        (σ 0 + 4σ1 + 16σ 2 ),                        (11)

где σ 0 – сумма значений подынтегральной функции f ( x, y ) в вер-
шинах прямоугольника R ; σ1 – сумма значений f ( x, y ) в серединах


                                                     33

Страницы