Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

37
С вероятностью η−1 выполняется неравенство Чебышева
.
)(
|)()(|
N
fD
fIfS
N
η
≤−
Полагая ,01,0=η получаем: с вероятностью 0,99 выполняется не-
равенство
.
)(
10|)()(|
N
fD
fIfS
N
≤−
Оценка получается лучше, если точки
j
P не только попарно неза-
висимы, но и независимы в совокупности. Тогда, согласно централь-
ной предельной теореме, случайная величина
N
fD
fIfS
N
)(
)()( −
распределена асимптотически нормально с функцией распределения
∫
∞−
−
π
=Φ
y
dt
t
y .)
2
exp(
2
1
)(
2
Таким образом, при больших значениях N выполняется неравен-
ство
.
)(
|)()(|
N
fD
yfIfS
N
≤−
Полагая 3=y и ,5=y получаем, что неравенства
N
fD
fIfS
N
)(
3|)()(|
≤−
и
N
fD
fIfS
N
)(
5|)()(|
≤−
выполняются соответственно с вероятностями 0,997 и 0,99999.
Сформулированные утверждения называются правилами «трех
сигм» и «пяти сигм» соответственно.
Задание
Вычислить двойной интеграл аналитически, по формуле Симпсо-
на, по методу Монте-Карло. Вычислить абсолютные погрешности
приближенных методов интегрирования. Построить график зависи-
мости абсолютной погрешности от числа узлов. 
  С вероятностью 1 − η выполняется неравенство Чебышева
                                                 D( f )
                          | S N ( f ) − I ( f ) |≤      .
                                                 ηN
   Полагая η = 0,01, получаем: с вероятностью 0,99 выполняется не-
равенство
                                                  D( f )
                     | S N ( f ) − I ( f ) |≤ 10          .
                                                    N
   Оценка получается лучше, если точки Pj не только попарно неза-
висимы, но и независимы в совокупности. Тогда, согласно централь-
ной предельной теореме, случайная величина
                           SN ( f ) − I ( f )
                                 D( f )
                                   N
распределена асимптотически нормально с функцией распределения
                                        y
                             1                       t2
                     Φ( y) =
                             2π         ∫
                                       −∞
                                            exp(−
                                                     2
                                                        )dt.

   Таким образом, при больших значениях N выполняется неравен-
ство
                                                D( f )
                     | S N ( f ) − I ( f ) |≤ y        .
                                                 N
   Полагая y = 3 и y = 5, получаем, что неравенства
                           D( f )                              D( f )
         | S N ( f ) − I ( f ) |≤ 3
                                  и | S N ( f ) − I ( f ) |≤ 5
                             N                                  N
выполняются соответственно с вероятностями 0,997 и 0,99999.
Сформулированные утверждения называются правилами «трех
сигм» и «пяти сигм» соответственно.
                                       Задание
   Вычислить двойной интеграл аналитически, по формуле Симпсо-
на, по методу Монте-Карло. Вычислить абсолютные погрешности
приближенных методов интегрирования. Построить график зависи-
мости абсолютной погрешности от числа узлов.


                                             37

Страницы