Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 4 стр.

ределенных значений аргумента. Все это порождает потребность в
приближенных методах вычисления интеграла (1), которые называ-
ются численными методами. Они позволяют найти числовое значе-
ние интеграла, основываясь на известных значениях подынтеграль-
ной функции (а иногда и ее производных), в заданных точках, назы-
ваемых узлами. Процесс численного определения интеграла называ-
ется квадратурой, а соответствующие формулы – квадратурными.
   В зависимости от способа задания подынтегральной функции бу-
дем рассматривать два различных в смысле их реализации случая
численного интегрирования.
   Задача 1. На отрезке [a, b] в узлах xi заданы значения f i некото-
рой функции f , принадлежащей некоторому классу F . Требуется
приближенно вычислить интеграл (1) и оценить погрешность полу-
ченного значения.
   Так обычно ставится задача численного интегрирования в случае,
когда подынтегральная функция задана в виде таблицы.
   Задача 2. На отрезке [a, b] функция f (x) задана в виде аналити-
ческого выражения. Требуется вычислить интеграл (1) с заданной
предельно допустимой погрешностью ε .
   Один из возможных способов решения сформулированных задач
основан на использовании различных квадратурных формул вида
                    b                      n
                I ≡ ∫ f ( x)dx ≈ (b − a )∑ Ai f ( xi ) ≡ I n        (3)
                    a                     i =1

с известным остаточным членом Rn [ f ] = I − I n или его оценкой.
    В общем случае как узловые точки xi , так и весовые множители
 Ai заранее не известны и подлежат определению при выводе каждой
конкретной квадратурной формулы (3) на основе предъявляемых к
ней требований.
    Перейдем к алгоритмам решения сформулированных задач.
    Алгоритм решения задачи 1.
    1. Выбирают конкретную квадратурную формулу (3) и вычисля-
ют I n . Если значения функции f i заданы приближенно, то фактиче-


                                      4