ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
110
определяют поверхность. Например, рассмотрим вращения евклидова
пространства вокруг координатной оси
O
z
и вокруг оси
Oy
. В повороте
вокруг оси
Oy точка )0,0,(a
A
описывает траекторию
ua
x
cos= ,
uay sin
=
;
точки этой траектории в повороте вокруг оси
Oz описывают траектории
v
x
x
cos
=
′
, v
x
y sin
=
′
, zz
=
′
.
В композиции поворотов сначала вокруг оси
Oy а затем вокгуг оси O
z
имеем сферу, заполненную траекториями точки
A
в указанных поворотах,
уравнения сферы
vua
x
coscos
=
,
vuay cossin
=
,
vaz sin
=
.
Взяв повороты в обратной посдедовательности, получаем уравнения сферы
vua
x
coscos
=
, vay cos
=
, vuaz cossin
=
.
Рассматриваемые повороты не перестановочны.
Известно, что повороту евклидова пространства соответствует ква-
тернион единичного модуля, [28], композиции поворотов – произведение
кватернионов. Мультипликативная группа кватернионов не 2-мерна. По-
этому сфера не является 2-мерным одулярным пространством, она не
имеет собственной геометрии; не всякая из рассмотренных траекторий –
геодезическая на сфере.
Собственная геометрия поверхности является аналогом
планимет-
рии, методы изучения ее неметрических свойств – аффинные методы ис-
следований свойств аффинной плоскости. Для изучения поверхностей,
одуль которых имеет размерность большую двух, аффинных методов не-
достаточно.
определяют поверхность. Например, рассмотрим вращения евклидова
пространства вокруг координатной оси Oz и вокруг оси Oy . В повороте
вокруг оси Oy точка A(a,0,0) описывает траекторию
x = a cos u , y = a sin u ;
точки этой траектории в повороте вокруг оси Oz описывают траектории
x′ = x cos v , y ′ = x sin v , z ′ = z .
В композиции поворотов сначала вокруг оси Oy а затем вокгуг оси Oz
имеем сферу, заполненную траекториями точки A в указанных поворотах,
уравнения сферы
x = a cos u cos v , y = a sin u cos v , z = a sin v .
Взяв повороты в обратной посдедовательности, получаем уравнения сферы
x = a cos u cos v , y = a cos v , z = a sin u cos v .
Рассматриваемые повороты не перестановочны.
Известно, что повороту евклидова пространства соответствует ква-
тернион единичного модуля, [28], композиции поворотов – произведение
кватернионов. Мультипликативная группа кватернионов не 2-мерна. По-
этому сфера не является 2-мерным одулярным пространством, она не
имеет собственной геометрии; не всякая из рассмотренных траекторий –
геодезическая на сфере.
Собственная геометрия поверхности является аналогом планимет-
рии, методы изучения ее неметрических свойств – аффинные методы ис-
следований свойств аффинной плоскости. Для изучения поверхностей,
одуль которых имеет размерность большую двух, аффинных методов не-
достаточно.
110
