Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 108 стр.

                         ⎧ x = v + h1 ,
                         ⎪
                         ⎪                  ev −1
                         ⎨ y′ = e h + a
                                  v 2
                                                    ,
                         ⎪                    e − 1
                         ⎪ z ′ = pu o + h 3 .
                         ⎩
Это экспоненциальные кривые; u − линии поверхности – прямые
                      x = c , y = c , z = pu + h 3 ;
параллельные координатной оси Oz . Поверхность является цилиндриче-
ской с образующей, параллельной оси Oz и экспоненциальной направ-
ляющей в плоскости Oxy .

      19.3. СОБСТЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ ОДУЛЯРНОЙ ПОВЕРХНО-
СТИ ТРАЕКТОРИЙ. Определенные выше, в п. 19.1, одулярные по-
верхности траекторий Π есть 2-мерные одулярные подпространства того
пространства W , преобразованиями которых они определены, теорема
19.1.1. Геометрия поверхности Π изучается методами геометрии про-
странства W . Но одулярная поверхность траекторий обладает и собст-
венной геометрией – геометрией этой поверхности, как одулярного про-
странства.
      Собственная геометрия поверхности – геометрия поверхности как
2-мерного одулярного пространства, построенного в аксиоматике Г.Вейля
на основе свойств одуля Ли преобразований объемлющего пространства и
являющегося одулем Ли этой поверхности. Например, для аффинного про-
странства это одулярная геометрия его поверхностей и обобщение афин-
ной геометрии.
      19.3.1. ТЕОРЕМА. Одуляры одулярной поверхности траекторий об-
ладают свойством абсолютного параллелелизма.
      # Пусть 〈 H ,α , β 〉 , одулярная поверхность траекторий в некотором
пространстве. Пусть γ , δ два одуляра из 〈α , β 〉 . В линейном пространстве:
− δ + γ + δ = γ , в растране − δ + γ + δ = kγ , k ≠ 0 . Таким образом, в па-
раллельном перенесении всякого одуляра γ всяким одуляром δ получает-
ся или тот же одуляр γ , или ненулевой одуляр kγ ; направление одуляров
γ , kγ одно и тоже. Это и есть свойство абсолютного параллелелизма
одуляров из 〈α , β 〉 . #
      19.3.2. ТЕОРЕМА. Траектории всякой точки поверхности 〈 H ,α , β 〉
в преобразованиях uα + vβ являются геодезическими линиями поверхно-
сти 〈 H ,α , β 〉 в ее собственной геометрии.




                                    108