Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 109 стр.

         # 1-параметрический одуль Ли 〈γ 〉 = 〈uα + vβ 〉 есть одуль Ли тра-
ектории 〈 A, uα + vβ 〉 точки A одулярной поверхности траекторий. По
теореме 19.3.1, одуляр γ = uα + vβ обладает абсолютным параллелелиз-
мом, следовательно, 〈 A, γ 〉 есть геодезическая поверхности 〈 H ,α , β 〉 . #
         19.3.3. СВОЙСТВО. Если A ∈ 〈 H ,α , β 〉 и γ , δ ∈ 〈 H ,α , β 〉 ∉ 〈γ 〉 , то
〈 A, γ , δ 〉 = 〈 H ,α , β 〉 : одулярная поверхность траекторий определяется
любой своей точкой и любыми своими двумя независимыми одулярами.
         19.3.4. ТЕОРЕМА.           На одулярной поверхности траекторий
〈 H ,α , β 〉 через каждую точку во всяком направлении проходит единст-
венная геодезическая.
         # Пусть A ∈ 〈 H ,α , β 〉 . Поверхность 〈 H ,α , β 〉 является ВО-
пространством, п. 19.1. Согласно аксиомам Г.Вейля, от любой точки A
поверхности можно отложить любой одуляр из 〈α , β 〉 и образ точки A в
любом преобразовании uα + vβ лежит на поверхности. Всякие две точки
поверхности A и P определяют единстенный одуляр из 〈α , β 〉 . Точка A
и одуляр uα + vβ определяют единстенную траекторию 〈 A, uα + vβ 〉 , она
лежит на поверхности. #
         Свойства одулярной поверхности траекторий повторяют свойства
аффинных плоскостей, так как определяются одним и тем же определени-
ем. Но на метрические свойства одулярной поверхности траекторий влия-
ют метрические свойства из одуля поверхности, т.е. свойства окружаю-
щего поверхность пространства. Это не удивительно, а хорошо известно.
Например, геодезические линии на плоскости евклидова пространства –
прямые, линии нулевой кривизны; геодезичесие линии одулярной поверх-
ности с лиенйным пространством параболических поворотов – параболы,
кривизна параблы отлична от нуля. Точно также кривизна одулярной по-
верхности траекторий в евклидовом пространстве может иметь ненуле-
вую кривизну. Указанная только что поверхность, пример 2 в п. 19.2, име-
ет гауссову кривизну
                                          1
                                K=                 .
                                     1+ u 2 + v2

      19.4. ПОВЕРХНОСТИ С ОДУЛЕМ РАЗМЕРНОСТИ БОЛЬШЕ
2. Взяв любые два независимых нетождественных преобразования, необя-
зательно получаем поверхность, как одулярную поверхность. Пусть α , β
преобразования пространства W , β ∈ 〈α 〉 и пусть их оболочка не 2-мерна.
Записывая формулы композиции преобразований uα + vβ , получаем 2-
параметрические уравнения (с параметрами u, v ) они в пространстве W




                                       109