Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 106 стр.

ваниях uα + vβ . Выполняется равенство для любого образа ( x, y , z ) точки
(h1 , h 2 , h 3 ) в преобразованиях uα + vβ :
                         2 z − x 2 + y 2 = 2h 3 − ( h1 ) 2 + ( h 2 ) 2 .
Число 2h 3 − (h1 ) 2 + (h 2 ) 2 постоянно для рассматриваемой одулярной по-
верхности траекторий, проходящей через точку H , следовательно, полу-
ченная поверхность является гиперболическим параболоидом.
     Возьмем еще преобразование
                                     ⎧
                                     ⎪ x ′ = x,
                                     ⎪
                                 γ : ⎨ y ′ = y + 1,
                                     ⎪              1
                                     ⎪z′ = z + y + ;
                                     ⎩              2
его матрица
                                    ⎛1      0 0 0⎞
                                    ⎜            ⎟
                                    ⎜0      1 0 0⎟
                                    ⎜1      0 1 0⎟ .
                                    ⎜1           ⎟
                                    ⎜       0 1 1⎟
                                    ⎝2           ⎠
Имеем линейное пространство параболических поворотов 〈α , γ 〉 и оду-
лярную поверхность траекторий
                         ⎧
                         ⎪ x = v + h1 ,
                         ⎪⎪          2
                          ⎨y = u + h ,
                          ⎪       2     2
                          ⎪ z = v + u + h1v + h 2 u + h 3
                          ⎪⎩     2    2
эта поверхность – эллиптический параболоид 2 z = x 2 + y 2 .
      3) Поверхность с растраном. Преобразование аффинного простран-
ства
                                       ⎧ x′ = x + 1,
                                       ⎪
                                   ρ : ⎨ y ′ = ey + a,
                                       ⎪ z ′ = z;
                                       ⎩
с матрицей




                                             106