Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

105
Находим суммы преобразований
α
+
β
:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−+=
′
+=
′
+
=
′
;
,1
,1
yxzz
yy
xx
β
+
α
:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−+=
′
+=
′
+
=
′
.
,1
,1
yxzz
yy
xx
Получилось совпадение
α
+
β
=
β
+
α
. Преобразования
α
,
β
переста-
новочны, поэтому одуль преобразований 〉
〈
β
α
, является линейным про-
странством. Имеем
α
u :
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−−=
′
+=
′
=
′
;
2
,
,
2
u
yuzz
uyy
xx
R∈u
;
β
v
:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
++=
′
=
′
+=
′
;
2
,
,
2
v
xvzz
yy
vxx
R∈v
.
Формулы композиции преобразований
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−−++=
′
+=
′
+=
′
.
22
,
,
22
u
yu
v
xvzz
uyy
vxx
(Для этого формулы преобразования
β
v
, в котором точка )','( yx отобра-
жается на точку
)","( yx :
2
''",'",'"
2
v
vxzzyyvxx ++==+=
.
Затем подставляем сюда формулы преобразования
α
u
.) Траектория точки
),,(
321
hhhH
в преобразовании
β
α
vu
+
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+−+−=
+=
+=
.
22
,
,
321
22
2
1
huhvh
uv
z
huy
hvx
Это параметрические уравнения одулярной поверхности траекторий
〉〈
β
α
,,
H
. Она заполняется траекториями точки
),,(
321
hhh
в преобразо-
Находим суммы преобразований
                       ⎧ x ′ = x + 1,                           ⎧ x′ = x + 1,
                       ⎪                                        ⎪
               α + β : ⎨ y ′ = y + 1,     β + α:                ⎨ y ′ = y + 1,
                       ⎪ z ′ = z + x − y;                       ⎪ z ′ = z + x − y.
                       ⎩                                        ⎩
Получилось совпадение α + β = β + α . Преобразования α , β переста-
новочны, поэтому одуль преобразований 〈α , β 〉 является линейным про-
странством. Имеем
             ⎧                                            ⎧
             ⎪ x ′ = x,                                   ⎪ x ′ = x + v,
             ⎪⎪                                           ⎪⎪
        uα : ⎨ y ′ = y + u ,       u ∈ R ; vβ :            ⎨ y ′ = y,           v∈R.
              ⎪                  2                         ⎪                  2
              ⎪ z ′ = z − yu − u ;                         ⎪ z ′ = z + xv + v ;
              ⎪⎩                2                          ⎪⎩                2
Формулы композиции преобразований
                     ⎧
                     ⎪ x ′ = x + v,
                     ⎪⎪
                      ⎨ y ′ = y + u,
                      ⎪                  2        2
                      ⎪ z ′ = z + xv + v − yu − u .
                      ⎪⎩                2        2
(Для этого формулы преобразования vβ , в котором точка ( x' , y ' ) отобра-
жается на точку ( x" , y" ) :
                                                                     v2
                           x" = x'+ v, y" = y ' , z" = z '+ x' v +      .
                                                                     2
Затем подставляем сюда формулы преобразования uα .) Траектория точки
H (h1 , h 2 , h 3 ) в преобразовании uα + vβ
                           ⎧
                           ⎪ x = v + h1 ,
                           ⎪⎪          2
                            ⎨y = u + h ,
                            ⎪       2     2
                            ⎪ z = v − u + h1v − h 2 u + h 3 .
                            ⎪⎩     2    2
Это параметрические уравнения одулярной поверхности траекторий
〈 H ,α , β 〉 . Она заполняется траекториями точки (h1 , h 2 , h 3 ) в преобразо-




                                              105

Страницы