Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

103
ружности, это плоские евклидовы линии постоянной кривизны. В евклидо-
вом пространстве существует еще винтовое движение. Его траектории –
винтовые линии. См. примеры траекторий 1) - 3) в п. 18.2. Параболиче-
ский поворот галилеевой плоскости есть ее движение, пример 4) в п. 18.2.
Траектории параболического поворота называются циклами галилеевой
плоскости. Прямые линии и циклы – линии постоянной кривизны галилее-
вой плоскости. Гиперболический поворот, пример 6) в п. 18.2, есть движе-
ние псевдоевклидовой плоскости. Кривые постоянной кривизны псевдо-
евклидовой плоскости – это прямые и гиперболы.
§ 19. Поверхности траекторий
19.1 ОДУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ТРАЕКТОРИЙ. Считаем
как и выше, что в пространстве
W
введены координаты и что некоторые
преобразования пространства
W
образуют одуль Ли. Пусть
α
,
β
преоб-
разования
W и оболочка 〉〈
β
α
, 2-мерна. По п. 16.3, 〉
〈
β
α
, есть либо
линейное пространство, либо растран. Рассматриваем множество точек
},),(,|{
2
R∈+==Π vuvuHMM
βα
оно состоит из образов точки
H
во всех преобразованиях
β
α
vu +
из оду-
ля Ли
〉〈
β
α
,
. Уравнения траектории
〉
〈
α
,
H
точки
),(
21
hhH
в расматри-
ваемом преобразовании
α
:
),,,(
321
hhhufx
ii
= , R
∈
u , 3,2,1
=
i ;
а уравнения траекторий точек, лежащих на траектории
〉
〈
α
,
H
, в преобра-
зовании
β
:
),,,,(
321
hhhvugx
ii
=
,
2
),( R∈vu
,
3,2,1
=
i
;
Последними уравнениями определена поверхность
Π
. Она называется
одулярной поверхностью траекторий. Обозначаем ее
〉
〈
β
α
,,
H
.
19.1.1. ТЕОРЕМА. Одулярная поверхность траекторий является 2-
мерным ВО-пространством.
# Пусть
Π
P
. Для любого преобразования
β
α
v
u
+
из
〉〈
β
α
,
обо-
значим
Q
v
u
P
=
+
)(
β
α
, т.е.
β
α
v
uPQ
+
=
. Так как
Π
P
, то существует
преобразование
β
α
s
t
+
, что
H
P
=
β
α
s
t
+
. В композиции преобразова-
ний (
β
α
s
t
+
) + (
β
α
vu +
) имеем преобразование вида
β
α
m
k
+
. В линей-
ном пространстве
〉
〈
β
α
,
:
u
t
k
+=
,
v
s
m
+
=
. В 2-мерном растране выра-
жение чисел
k
и
m
через
v
u
s
t
,,,
несколько сложнее, но оно существу-
ет. Значит, точка
Q
, как образ точки
H
в преобразовании
β
α
m
k
+
, лежит 
ружности, это плоские евклидовы линии постоянной кривизны. В евклидо-
вом пространстве существует еще винтовое движение. Его траектории –
винтовые линии. См. примеры траекторий 1) - 3) в п. 18.2. Параболиче-
ский поворот галилеевой плоскости есть ее движение, пример 4) в п. 18.2.
Траектории параболического поворота называются циклами галилеевой
плоскости. Прямые линии и циклы – линии постоянной кривизны галилее-
вой плоскости. Гиперболический поворот, пример 6) в п. 18.2, есть движе-
ние псевдоевклидовой плоскости. Кривые постоянной кривизны псевдо-
евклидовой плоскости – это прямые и гиперболы.


                        § 19. Поверхности траекторий

      19.1 ОДУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ТРАЕКТОРИЙ. Считаем
как и выше, что в пространстве W введены координаты и что некоторые
преобразования пространства W образуют одуль Ли. Пусть α , β преоб-
разования W и оболочка 〈α , β 〉 2-мерна. По п. 16.3, 〈α , β 〉 есть либо
линейное пространство, либо растран. Рассматриваем множество точек
                  Π = {M | HM = uα + vβ , (u , v) ∈ R 2 },
оно состоит из образов точки H во всех преобразованиях uα + vβ из оду-
ля Ли 〈α , β 〉 . Уравнения траектории 〈 H ,α 〉 точки H (h1 , h 2 ) в расматри-
ваемом преобразовании α :
                    x i = f i (u , h1 , h 2 , h 3 ) , u ∈ R , i = 1,2,3 ;
а уравнения траекторий точек, лежащих на траектории 〈 H ,α 〉 , в преобра-
зовании β :
               x i = g i (u , v, h1 , h 2 , h 3 ) , (u , v) ∈ R 2 , i = 1,2,3 ;
Последними уравнениями определена поверхность Π . Она называется
одулярной поверхностью траекторий. Обозначаем ее 〈 H ,α , β 〉 .
       19.1.1. ТЕОРЕМА. Одулярная поверхность траекторий является 2-
мерным ВО-пространством.
       # Пусть P ∈ Π . Для любого преобразования uα + vβ из 〈α , β 〉 обо-
значим P (uα + vβ ) = Q , т.е. PQ = uα + vβ . Так как P ∈ Π , то существует
преобразование tα + sβ , что HP = tα + sβ . В композиции преобразова-
ний ( tα + sβ ) + ( uα + vβ ) имеем преобразование вида kα + mβ . В линей-
ном пространстве 〈α , β 〉 : k = t + u , m = s + v . В 2-мерном растране выра-
жение чисел k и m через t , s, u , v несколько сложнее, но оно существу-
ет. Значит, точка Q , как образ точки H в преобразовании kα + mβ , лежит




                                     103

Страницы