Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

101
и которому соответствует тройка
),,(
21
aaa
, входит в однородный 3-
мерный растран преобразований. По тройке
),,(
21
aaa
, см. п. 16.4, имеем
формулы преобразования
ρ
t
и траекторию точки
),(
21
hhH
:
1
1
11
−
−
+=
a
at
at
e
e
aehx
,
1
1
22
−
−
+=
a
at
at
e
e
aehy
.
Исключая параметр
t
, приходим к уравнению вида
bk
x
y
+
=
;
следовательно, траектории точек в преобразовании
ρ
прямолинейны.
6) Преобразования аффинной плоскости следующего вида
τ
:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
′
+=
′
−
;
,
2
1
ayey
axex
a
a
матрицы которых
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
a
a
ea
ea
0
0
001
2
1
,
и которые определяются тройками
),,(
21
aaa
, составляют растран общего
вида, что определяется операциями над матрицами, п. 16.4. По тройке
),,(
21
aaa
записываем уравнения траектории точки
),(
21
hhH
в преобра-
зовании
1
1
11
−
−
+=
−
−
−
a
at
at
e
e
aehx
,
1
1
22
−
−
+=
a
at
at
e
e
aehy
.
Отсюда получаем
b
x
k
y +=
.
Траектории точек – гиперболы.
18.3. СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ. Пусть
α
преобразование пространства
W
и определены преобразования
α
t
,
∈
t
.
Легко проверить выполнимость следующих свойств.
18.3.1. СВОЙСТВО. 1-параметрический одуль Ли преобразований
〉〈
α
=
}|{ R
∈
t
t
α
является 1-мерным линейным пространством. #
18.3.2. СВОЙСТВО. Линейное пространство преобразований
〉〈
α
является оболочкой любого своего нетождественного преобразования: ес-
ли
∈
β
〉〈
α
и
ϑ
β
≠
, то
〉
〈
β
=
〉〈
α
. # 
и которому соответствует тройка (a, a1 , a 2 ) , входит в однородный 3-
мерный растран преобразований. По тройке ( a, a1 , a 2 ) , см. п. 16.4, имеем
формулы преобразования tρ и траекторию точки H ( h1 , h 2 ) :
                                   e at − 1                     at
                                                             2 e −1
                x = h1e at + a1             , y = h 2 at
                                                     e   + a         .
                                   ea −1                       ea −1
Исключая параметр t , приходим к уравнению вида
                               y = kx + b ;
следовательно, траектории точек в преобразовании ρ прямолинейны.
     6) Преобразования аффинной плоскости следующего вида
                                  ⎧⎪ x′ = xe −a + a1 ,
                               τ: ⎨
                                   ⎪⎩ y ′ = ye a + a 2 ;
матрицы которых
                                   ⎛1      0      0⎞
                                   ⎜ 1                ⎟
                                   ⎜a     e −a    0 ⎟,
                                   ⎜ a2    0     e a ⎟⎠
                                   ⎝
и которые определяются тройками (a, a1 , a 2 ) , составляют растран общего
вида, что определяется операциями над матрицами, п. 16.4. По тройке
(a, a1 , a 2 ) записываем уравнения траектории точки H (h1 , h 2 ) в преобра-
зовании
                    1 − at     1e − at − 1       2 at
                                                         at
                                                      2 e −1
               x=h e         + a −a        , y =h e +a a     .
                                 e −1                   e −1
Отсюда получаем
                                           k
                                      y=     +b.
                                           x
Траектории точек – гиперболы.

      18.3. СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ. Пусть α
преобразование пространства W и определены преобразования tα , t ∈ R .
Легко проверить выполнимость следующих свойств.
      18.3.1. СВОЙСТВО. 1-параметрический одуль Ли преобразований
〈α 〉 = {tα | t ∈ R} является 1-мерным линейным пространством. #
      18.3.2. СВОЙСТВО. Линейное пространство преобразований 〈α 〉
является оболочкой любого своего нетождественного преобразования: ес-
ли β ∈ 〈α 〉 и β ≠ ϑ , то 〈 β 〉 = 〈α 〉 . #




                                          101

Страницы