Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 102 стр.

       18.3.3. СВОЙСТВО. Траектория точки H в преобразовании α
есть множество точек l = 〈 H ,α 〉 = {M | HM = tα , t ∈ R . Это 1-мерное
аффинное пространство. #
       Траектория точки H в преобразовании α в пространстве W опре-
деляется также, как прямая аффинного пространства, п. 2.1.
       18.3.4. СВОЙСТВО. Траектории точек пространства W в преоб-
разованиях пространства W , входящих в некоторый одуль Ли преобразо-
ваний обладают такими же свойствами, как прямые аффинного про-
странства.# Свойства аффинных прямых приведены в п. 2.1.
       18.3.5. СВОЙСТВО. Если P ∈ 〈 H ,α 〉 и Pα = Q , то Q ∈ 〈 H ,α 〉 . #
       18.3.6. СВОЙСТВО. При применении любого преобразования tα к
траектории 〈 H ,α 〉 , траектория 〈 H ,α 〉 скользит сама по себе, т.е. об-
раз траектории 〈 H ,α 〉 в преобразованиях tα совпадает с траекторией
〈 H ,α 〉 и tα есть преобразования траектории 〈 H ,α 〉 . #
       18.3.7. СВОЙСТВО. Преобразование β из одуля 〈α 〉 траектории
〈 H ,α 〉 , β остается преобразованием траектории. #Перенесение преоб-
разования β вдоль траектории 〈 H ,α 〉 означает, что β применяется к
точкам P траектории. Свойство утверждает, что образы точек P в преоб-
разовании β лежат на траектории 〈 H ,α 〉 . Свойство 18.3.7 означает, что
траектории преобразований пространства W являются кривыми постоян-
ного направления в пространстве W , т.е. геодезическими пространства
W , см. [27].

      18.4. ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЙ. Рассматривается ВО-
пространство W , в котором введена метрика. Преобразование δ про-
странства W называется движением этого пространства W , если мет-
рика инвариантна в преобразовании δ .
      18.4.1. ТЕОРЕМА. Траектории движений являются кривыми посто-
янных кривизн пространства W .
      # Пусть l траектория движения δ пространства W , P точка кри-
вой l , k1 , k 2 ,..., k n кривизны кривой l в точке P ( n кривизн имеет кри-
вая n + 1-мерного пространства). Пусть Q любая точка кривой l . Сущест-
вует движение π ∈ 〈δ 〉 , что Q = Pπ . Значит, кривизны кривой l в точке
Q равны k1 , k 2 ,..., k n , т.е. во всех точках кривой l ее кривизны постоянны.
#
      Существуют траектории точек только в движениях, не изменяющих
ориентации пространства.
      Движения евклидовой плоскости, не изменяющие ее ориентации
(ДРI) – параллельные переносы и повороты. Их траектории – прямые и ок-




                                      102