Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

100
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
1
2
)1(
01
001
bt
tt
ab
at
=
t
bc
a
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
1
01
001
,
см. [9]. Формулы преобразований
γ
t
– это параметрические уравнения
траекторий точек в преобразовании
γ
, теорема 18.1.1. формулы преобра-
зования
γ
t
есть параметрические уравнения параболы. Преобразование
γ
является параболическим поворотом аффинной плоскости. Выберем пара-
метры параболического поворота
γ
: 1,2,1
=
=
=
cba и рассмотрим поворот
o
γ
:
⎩
⎨
⎧
++=
′
+
=
′
.12
,1
yxy
xx
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
121
011
001
.
Найдем траекторию точки
),(
21
hhH
в этом повороте, считаем, что теку-
щая точка траектории есть ),( y
x
M
= . Уравнения траектории точки
H
:
o
t
γ
:
⎩
⎨
⎧
++=
+=
.2
,
221
1
htthy
thx
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
12
01
001
2
tt
t
.
Проследим, как преобразование
o
γ
отображает точку
)0,0(O
; сначала на-
ходим
OA =
1 o
γ
, затем
12
AA =
o
γ
,
23
AA
=
o
γ
, и т.д. Вычисляем по фор-
мулам преобразования
o
γ
:
K→→→→ )9,3()4,2()1,1()0,0(
.
Эти точки лежат на параболе
2
xy = . Подставим в уравнения траектории
0
1
=h , 0
2
=h , имеем:
2
, tytx == . Это параметрические уравнения пара-
болы
2
xy =
.
5) Преобразование аффинной плоскости
:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
′
+=
′
;
,
2
1
ayey
axex
a
a
матрица которого
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
a
a
ea
ea
0
0
001
2
1
, 
                      ⎛                ⎞                      t
                      ⎜    1      0 0⎟ ⎛ 1               0 0⎞
                      ⎜                   ⎜                   ⎟
                           at     1 0⎟ = ⎜ a             1 0⎟ ,
                      ⎜ t (t − 1)      ⎟
                      ⎜ ab        bt 1 ⎟ ⎜⎝ c            b 1 ⎟⎠
                      ⎝      2         ⎠
см. [9]. Формулы преобразований tγ – это параметрические уравнения
траекторий точек в преобразовании γ , теорема 18.1.1. формулы преобра-
зования tγ есть параметрические уравнения параболы. Преобразование γ
является параболическим поворотом аффинной плоскости. Выберем пара-
метры параболического поворота γ : a = 1, b = 2, c = 1 и рассмотрим поворот
                                                  ⎛1 0 0 ⎞
                          ⎧ x′ = x + 1,           ⎜      ⎟
                      γo: ⎨                       ⎜1 1 0 ⎟ .
                          ⎩ y ′ = 2 x + y + 1.    ⎜1 2 1 ⎟
                                                  ⎝      ⎠
 Найдем траекторию точки H (h1 , h 2 ) в этом повороте, считаем, что теку-
 щая точка траектории есть M = ( x, y ) . Уравнения траектории точки H :
                                                 ⎛1       0  0⎞
                            ⎧ x = h1 + t ,       ⎜              ⎟
                     tγ o : ⎨                    ⎜t       1 0⎟ .
                            ⎩ y = 2h t + t + h . ⎜ t 2
                                     1     2  2

                                                 ⎝        2t 1 ⎟⎠
Проследим, как преобразование γ o отображает точку O (0,0) ; сначала на-
ходим A1 = O γ o , затем A2 = A1 γ o , A3 = A2 γ o , и т.д. Вычисляем по фор-
мулам преобразования γ o :
                     (0,0) → (1,1) → (2,4) → (3,9) → K .
Эти точки лежат на параболе y = x 2 . Подставим в уравнения траектории
h1 = 0 , h2 = 0 , имеем: x = t , y = t 2 . Это параметрические уравнения пара-
болы y = x 2 .
     5) Преобразование аффинной плоскости
                                 ⎧⎪ x′ = xe a + a1 ,
                              ρ: ⎨
                                  ⎪⎩ y ′ = ye a + a 2 ;
матрица которого
                                 ⎛1       0     0⎞
                                 ⎜ 1      a         ⎟
                                 ⎜a      e      0 ⎟,
                                 ⎜ a2     0    e a ⎟⎠
                                 ⎝




                                        100

Страницы