Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 98 стр.

                                    Глава 7
             Траектории и пoверхности траекторий.



                       § 18. Траектории преобразований

       18.1. УРАВНЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. Рас-
сматриваем 3-мерное пространство W (аффинное, евклидово, риманово и
т.д.) в котором введены координаты – локально или глобально. Ограниче-
ние размерности несущественно. Пусть α преобразование пространства
W , в котором точка M ( x1 , x 2 , x 3 ) отображается на точку
M ′( x′1 , x′ 2 , x′3 ) , и преобразование α задано формулами
                    α : x i = f i ( x1 , x 2 , x 3 ) , i = 1,2,3 .
Предполагается, что α входит в некоторый одуль Ли преобразований про-
странства W . Значит, определены преобразования tα , t ∈ R , считаем, что
заданы формулы преобразования tα , M (tα ) = M ′ ,
                   tα : x′i = h i (t , x1 , x 2 , x 3 ) , i = 1,2,3 .
При фиксированной точке M = ( m1 , m 2 , m 3 ) и меняющемся параметре t
имеем изменяющуюся точку M ′
                      x′i = h i (t , x1 , x 2 , x 3 ) , i = 1,2,3 .
Точка M ′ описывает некоторую линию в пространстве W – траекторию
точки M в преобразовании α .
      18.1.1. ТЕОРЕМА. Если преобразование α пространства W вхо-
дит в некоторый одуль Ли преобразований пространства W , то пара-
метрическими уравнениями траектории точки M в преобразовании α
являются формулы преобразования tα , t ∈ I ⊆ R . #
      Имеется другой способ получения уравнений траекторий преобразо-
ваний по формулам преобразований. Рассматриваются инфинитезималь-
ные преобразования, что позволяет получить системы дифференциальных
уравнений преобразования. Решения этой системы дифференциальных
уравнений и являются уравнениями траекторий, [25]. В [26] одулярными
методами найдены траектории аффинных преобразований плоскости. Ре-
зультаты совпали с результатами из [25].




                                       98