Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

99
18.2. ПРИМЕРЫ ТРАЕКТОРИЙ. Рассмотрим следующие приме-
ры.
1) Траектория точки
A
=
),,(
321
aaa
в параллельном переносе
m
r
=
),,(
321
mmm описывается параллельным переносом m
t
r
= ),,(
321
tmtmtm ,
это прямая
〉〈 m
A
r
, , параметрические уравнения траектории
11
a
t
m
x
+
=
,
22
atmy += ,
33
a
t
mz
+
=
.
2) В повороте
β
евклидовой плоскости вокруг начала координат на
угол
ϕ
точка )0,(a
A
=
отображается на точку ),( y
x
M
=
:
ϕ
cosa
x
= ,
ϕ
sinay = . Формулы поворота
β
t
:
t
a
x
cos
=
,
t
ay
ϕ
sin
=
– это урав-
нения траектории точки
A
в повороте
β
. Считаем угол
ϕ
равным 1 ра-
диану. Уравнения траектории:
t
a
x
cos=
,
t
ay sin
=
.
3) Винтовые траектории. Точка
)0,0,(a
A
=
движется в повороте во-
круг координатной оси
O
z
и параллельном переносе вдоль оси
O
z
. Пово-
рот
β
t
на изменяющийся угол
t
описывается формулами
t
a
x
cos=
,
t
ay sin= . Перенос ),0,0( bb =
r
, повторенный
t
раз есть
b
t
zyy
x
x
=
′
=
′
=
′
,, . Траектория точки )0,0,(a
A
=
в сумме движений
β
t
+
b
t
r
:
t
a
x
cos
=
,
t
ay sin
=
,
b
t
z
=
.
4) Траектории галилеевых движений. Формулы движения галилее-
вой плоскости имеют вид:
γ
:
⎩
⎨
⎧
++=
′
+
=
′
;
,
bycxy
axx
матрица движения есть
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
1
01
001
bc
a
.
−
t
кратное движение описывается формулами
γ
t
:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
+++=
′
+=
′
;
2
)1(
,
tt
bcbtyctxy
atxx
его матрица: 
      18.2. ПРИМЕРЫ ТРАЕКТОРИЙ. Рассмотрим следующие приме-
ры.
                                                                             r
      1) Траектория точки A = ( a1 , a 2 , a 3 ) в параллельном переносе m =
                                                                   r
(m1 , m 2 , m 3 ) описывается параллельным переносом tm = (m1t , m 2 t , m 3t ) ,
                    r
это прямая 〈 A, m〉 , параметрические уравнения траектории
                      x = m1t + a1 , y = m 2 t + a 2 , z = m 3t + a 3 .
      2) В повороте β евклидовой плоскости вокруг начала координат на
угол ϕ точка A = (a,0) отображается на точку M = ( x, y ) : x = a cos ϕ ,
y = a sin ϕ . Формулы поворота tβ : x = a cos ϕt , y = a sin ϕt – это урав-
нения траектории точки A в повороте β . Считаем угол ϕ равным 1 ра-
диану. Уравнения траектории:
                         x = a cos t , y = a sin t .
      3) Винтовые траектории. Точка A = (a,0,0) движется в повороте во-
круг координатной оси Oz и параллельном переносе вдоль оси Oz . Пово-
рот tβ на изменяющийся угол t описывается формулами x = a cos t ,
                                 r
y = a sin t .    Перенос         b = (0,0, b) ,    повторенный    t раз  есть
x′ = x, y ′ = y, z ′ = bt . Траектория точки A = (a,0,0) в сумме движений tβ
   r
+ tb :
                             x = a cos t , y = a sin t , z = bt .
      4) Траектории галилеевых движений. Формулы движения галилее-
вой плоскости имеют вид:
                                    ⎧ x ′ = x + a,
                              γ: ⎨
                                    ⎩ y ′ = cx + y + b;
матрица движения есть
                                    ⎛ 1 0 0⎞
                                    ⎜      ⎟
                                    ⎜ a 1 0⎟ .
                                    ⎜ c b 1⎟
                                    ⎝      ⎠
t − кратное движение описывается формулами
                             ⎧ x′ = x + at ,
                             ⎪
                        tγ : ⎨                         t (t − 1)
                             ⎪⎩ y ′ = ctx + y + bt + bc 2 ;
его матрица:




                                          99

Страницы