Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

104
на поверхности
Π
. Для любых точек
R
Q
P
,,
поверхности Π:
HRQ
H
QR +=
,
HQP
H
PQ +
=
, тогда
HRP
H
QRPQ +=
+
и
HRP
H
PR +=
, значит, PRQRPQ
=
+ . Аксиомы ВО-пространства вы-
полняются, см. п. 17.1. #
19.2. ПРИМЕРЫ ОДУЛЯРНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТРАЕКТО-
РИЙ. Рассмотрим следующие примеры.
1) Плоскость
〉
〈
nm
r
r
,,
аффинного пространства – это множество об-
разов точки
),(
21
aaA
в параллельных переносах из линейного простран-
ства
〉〈 nm
rr
, ,
),,(
321
mmmm =
r
,
),,(
321
nnnn =
r
; параметрические уравне-
ния плоскости
111
anum
x
+
+
= ,
222
anumy ++= ,
333
anumz +
+
=
.
2) Линейное пространство параболических поворотов. Параболоиды.
Параболический поворот вокруг координатной оси
Ox (его сужение на
плоскость
Oy
z
есть параболический поворот этой плоскости; см. пример
4) в п. 18.2):
α
:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−−=
′
+=
′
=
′
;
2
1
,1
,
yzz
yy
xx
матрица этого поворота:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−− 110
2
1
0101
0010
0001
.
Параболический поворот пространства вокруг координатной оси
Oy и его
матрица:
β
:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
++=
′
=
′
+=
′
;
2
1
,
,1
xzz
yy
xx
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
101
2
1
0100
0011
0001
. 
на поверхности Π . Для любых точек P, Q, R поверхности Π :
QR = QH + HR ,      PQ = PH + HQ , тогда   PQ + QR = PH + HR    и
PR = PH + HR , значит, PQ + QR = PR . Аксиомы ВО-пространства вы-
полняются, см. п. 17.1. #

     19.2. ПРИМЕРЫ ОДУЛЯРНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТРАЕКТО-
РИЙ. Рассмотрим следующие
                       r r примеры.
     1) Плоскость 〈 A, m, n 〉 аффинного пространства – это множество об-
разов точки A( a1 , a 2 ) в параллельных переносах из линейного простран-
        r r      r                     r
ства 〈 m, n 〉 , m = ( m1 , m 2 , m 3 ) , n = ( n1 , n 2 , n 3 ) ; параметрические уравне-
ния плоскости
           x = m1u + n1 + a1 , y = m 2 u + n 2 + a 2 , z = m 3u + n 3 + a 3 .
       2) Линейное пространство параболических поворотов. Параболоиды.
Параболический поворот вокруг координатной оси Ox (его сужение на
плоскость Oyz есть параболический поворот этой плоскости; см. пример
4) в п. 18.2):
                                     ⎧
                                     ⎪ x ′ = x,
                                     ⎪
                                 α : ⎨ y ′ = y + 1,
                                     ⎪              1
                                     ⎪z′ = z − y − ;
                                     ⎩              2
матрица этого поворота:
                                 ⎛ 1       0    0⎞
                                                 0
                                 ⎜               ⎟
                                 ⎜ 0       1     0
                                                0⎟
                                 ⎜ 1       0 1 0⎟ .
                                 ⎜ 1             ⎟
                                 ⎜−        0 −1 1⎟
                                 ⎝ 2             ⎠
Параболический поворот пространства вокруг координатной оси Oy и его
матрица:
                           ⎧                     ⎛1   0 0 0⎞
                           ⎪ x′ = x + 1,         ⎜         ⎟
                           ⎪                     ⎜1   1 0 0⎟
                       β : ⎨ y ′ = y,            ⎜0   0 1 0⎟ .
                           ⎪             1       ⎜1        ⎟
                           ⎪z′ = z + x + ;       ⎜    1 0 1⎟
                           ⎩             2       ⎝2        ⎠




                                           104

Страницы