Методические указания к лабораторным работам по курсу "Дискретная математика". Домашова Д.В - 3 стр.

                                        1.3 Кольца и поля

     Определение. Кольцом называется множество R с двумя бинарными
операциями ⊗ и ⊕ :
     а) ⊗ – ассоциативна;
     б) ⊕ – ассоциативна, коммутативна, имеет нуль, ∃ обратный элемент по
сложению.
     Операция ⊗ дистрибутивна по отношению к ⊕ :
      x ⊗ ( y ⊕ z) = ( x ⊗ y) ⊕ ( x ⊗ y) ,
     ( x ⊕ y ) ⊗ z = ( x ⊗ z ) ⊕ ( y ⊗ z ) ∀ x, y, z ∈ R
     Кольцо называется коммутативным, если операция умножения ⊗
коммутативна.
     Называется кольцо с единицей, если ∃ единица относительно умножения.
     В кольце (R, ⊗ , ⊕ ) для ∀ a, b ∈ R выпишется:
      0*a = a*0 = 0
      a ⊗ (−b) = (−a ) ⊕ b = −(a ⊗ b)
      ( − a ) ⊗ ( −b ) = a ⊗ b
      В кольце есть делители нуля, то есть a ≠ 0, b ≠ 0, но ab=0 (ab–делителя ну-
ля) (Для численного кольца: если произведение двух чисел =0, то хотя бы один
из множителей =0)
Определим операции:
      а) f(x)+g(x)=c(x): ∀ x=x0 c(x0)=f(x0)+g(x0);
      б) f(x)*g(x)=c(x): ∀ x=x0 c(x0)=f(x0)*g(x0);
      в) f(x) ≡ 0 – нуль
      Все свойства кольца выполнены, так как они сводятся к обычным опера-
циям над числами => совокупность функций, определенных для ∀ действитель-
ного x, после введения описанным выше способом операций сложения и умно-
жения на превращаются в кольцо.
Покажем, что это кольцо обладает свойством делителей на 0:
Построим:
                                        0, х ≤ 0              x, x ≤ 0 
                               f ( x) =           , g ( x) =           
                                        1, х > 0             0, x > 0
Обе функции отличны от нуля, так как не при всех x равны нулю их значения,
но f(x)+g(x) ≡ 0 => f(x) и g(x) – делители 0.
      Замечание. Ни в каком кольце невозможно деление на 0.
      Разделить элемент a на нуль, означает найти в кольце такой элемент х,
что 0*х=a, при a ≠ 0 это невозможно, то есть левая часть по определению умно-
жения на 0 в кольце =0.
      Определение. Полем называется множество F с двумя определенными на
нем бинарными операциями – сложением ⊕ и ⊗ умножением (F, ⊗ , ⊕ ), кото-
рые удовлетворяют условиям:
      а) Сложение коммутативно: x ⊕ y=y ⊕ x для ∀ x,y ∈ F;
      б) Сложение ассоциативно: x ⊕ (y ⊕ z)=(x ⊕ y) ⊕ z для ∀ x,y,z ∈ F;
      в) ∃ элемент, обозначим O: x ⊕ O=x ∀ x ∈ F. O называется аддитивной
      единицей или нулем;
6