Методические указания к лабораторным работам по курсу "Дискретная математика". Домашова Д.В - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

г) Для x ∈F y∈F: x y=0 ; y - называется аддитивной обратной к x и
обозначаем – x;
∀ ∃ ⊕
д) Операция умножения коммутативна : x
⊗
y=y
⊗
x для x,y∈F; ∀
е) Операция умножения ассоциативна: x
⊗
(y
⊗
z)=(x
⊗
y) z для⊗
∀
x, y,
z
∈F;
ж)
элемент, обозначим 1: 1∃
≠
0 xи
⊗
1=x
∀
x ∈F. 1 называется
мультипликативной единицей или единицей;
з) Для
∀ x ∈F\{0} ∃ F x y∈ :
⊗
y 1; y - называется мультипликативной об-
ратной к x и обозначаем
1−
x
=
;
и) Дистрибутивность: x
(y⊗
⊕
z)=(x
⊗
y)
⊕
(x
⊗
z);
Определение. Характеристикой поля F называется наименьшее положи-
тельное целое число p (если оно существует) для которого p*a=0, при
∀a∈F
Если такого натурального числа p не существует => характеристика равна
нулю.
Если характеристика конечна и равна p => p –простое.
Поля a, r, c – поля нулевой характеристики
Поля Z
m
– характеристики m
1.4 Кольцо класса вычетов
До сих пор мы рассматривали бесконечные кольца, теперь рассмотрим
пример конечного кольца и конечных полей.
Определение. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю n
(a
b mod n) на n один и тот же остаток, то есть если их разность нацело делится
на n.
≡
Следовательно все кольца целых чисел распадаются на n непересекаю-
щихся классов: С
0
, С
1
, …, С
n-1
, сравнимых между собой по модулю n чисел, где
C
k
– состоит из чисел, которые при делении на n дают остаток =k.
Введем операцию + и * :
а)
≥+
<+
=+
−+
+
nlkеслиC
nlkеслиC
nlk
lk
,
,
C
lk
C
;
б) C
k
*C
l
= C
r
, где r=(k*l) mod n;
Система классов С
0
, С
1
, …, С
n
будет кольцом по отношению к операциям + и
*.
С
0
– роль нуля.
C
k
+C
0
= C
k
C
k
*C
0
= C
0
Противоположным для класса C
k
, k=1,n-1 будет класс C
n-k
, так как
C
k
+C
n-k
=C
0,
следовательно эта система удовлетворяет всем свойствам кольца.
Будем обозначать полученное кольцо через Z
n
.
Если число n – составное, то кольцо Z
n
обладает делителями нуля: то есть
если n=kl, 1<k<n, 1<l<n => C
k
*C
l
=C
0
, но на основании определения умножения:
C
k
*C
l
=C
n-n
=C
0
=> C
k
, C
l
– делители нуля.
Если число n простое, то кольцо Z
n
будет полем.
7
      г) Для ∀ x ∈ F ∃ y ∈ F: x ⊕ y=0 ; y - называется аддитивной обратной к x и
      обозначаем – x;
      д) Операция умножения коммутативна : x ⊗ y=y ⊗ x для ∀ x,y ∈ F;
      е) Операция умножения ассоциативна: x ⊗ (y ⊗ z)=(x ⊗ y) ⊗ z для ∀ x, y,
      z ∈ F;
      ж) ∃ элемент, обозначим 1: 1 ≠ 0 и x ⊗ 1=x ∀ x ∈ F. 1 называется
      мультипликативной единицей или единицей;
      з) Для ∀ x ∈ F\{0} ∃ y ∈ F: x ⊗ y=1; y - называется мультипликативной об-
      ратной к x и обозначаем x −1 ;
      и) Дистрибутивность: x ⊗ (y ⊕ z)=(x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ z);
      Определение. Характеристикой поля F называется наименьшее положи-
тельное целое число p (если оно существует) для которого p*a=0, при ∀a∈F
      Если такого натурального числа p не существует => характеристика равна
нулю.
      Если характеристика конечна и равна p => p –простое.
      Поля a, r, c – поля нулевой характеристики
      Поля Zm – характеристики m

                                        1.4 Кольцо класса вычетов

       До сих пор мы рассматривали бесконечные кольца, теперь рассмотрим
пример конечного кольца и конечных полей.
       Определение. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю n
(a ≡ b mod n) на n один и тот же остаток, то есть если их разность нацело делится
на n.
       Следовательно все кольца целых чисел распадаются на n непересекаю-
щихся классов: С0, С1, …, Сn-1, сравнимых между собой по модулю n чисел, где
Ck – состоит из чисел, которые при делении на n дают остаток =k.
       Введем операцию + и * :
                     
                        C , если k + l < n
     а) C k + C l =  k +l                        ;
                      C k +l − n , если k + l ≥ n
                     
     б) Ck*Cl= Cr, где r=(k*l) mod n;
     Система классов С0, С1, …, Сn будет кольцом по отношению к операциям + и
*.
   С0 – роль нуля.
   Ck+C0= Ck
   Ck*C0= C0
      Противоположным для класса Ck, k=1,n-1 будет класс Cn-k, так как
Ck+Cn-k=C0, следовательно эта система удовлетворяет всем свойствам кольца.
Будем обозначать полученное кольцо через Zn.
      Если число n – составное, то кольцо Zn обладает делителями нуля: то есть
если n=kl, 1 Ck*Cl=C0, но на основании определения умножения:
Ck*Cl=Cn-n=C0 => Ck, Cl – делители нуля.
      Если число n простое, то кольцо Zn будет полем.
                                                                                7

Страницы