Методические указания к лабораторным работам по курсу "Дискретная математика". Домашова Д.В - 5 стр.

                                    Тема 2 Многочлены и их корни

                                                     2.1 Общие понятия

         Уравнение n-ой степени: (n-целое положительное число)
                                                   a 0 x n + a1 x n −1 + ... + a n − z x + a n = 0    (2)
          a 0 , a1 ,..., a n –корни числа. a 0 ≠ 0
         Определение. Многочлен n-ой степени:
                                                                                   (2.1)
                                             a 0 x n + a1 x n −1 + ... + a n − z x + a n = f ( x)
– сумма целых неотрицательных степеней неизвестного x, взятых с некоторых
числовых коэффициентов, а не любая сумма одночленов, a 0 ≠ 0 .
      Для записи многочленов будем употреблять символы f(x), g(x), ϕ (x) и т.д.
      Определение. Два многочлена f(x) и g(x) – равны, если равны их коэф-
фициенты при одинаковых степенях неизвестного.
      Многочлен n-ой степени следует смотреть как на некоторое формальное
выражение, определяемое набором своих коэффициентов a 0 , a1 ,..., a n , a 0 ≠ 0 .
      На многочлен можно было бы смотреть и с точки зрения математическо-
го анализа, т.е. считать его комплексной функцией комплексной переменной x.
      Многочлен нулевой степени – отличное от нуля комплексное число.
      Число 0–будем считать единственным многочленом, степень которого не
определена.

                                   2.2 Операции сложения и умножения
          ai ∈ Z
           f ( x) = a 0 + a1 x + ... + a n −1 x n −1 + a n x n , a n ≠ 0
          g ( x) = b0 + b1 x + ... + bs −1 x s −1 + bs x s , bs ≠ 0
          Определение - Пусть n ≥ S → f(x)+g(x)= c 0 + c1 x + ... + c n −1 x n −1 + c n x n , где
c i = a i + bi , i = 0, n {при n>S коэффициенты bs +1 , bs +1 ,..., bn считаются равными 0}
          Степень суммы равна n, если n>S, при n=S она может оказаться меньше n,
например в случае bn = −a n
          Определение - Произведением многочленов f(x) и g(x) называется мно-
гочлен: f ( x) g ( x) = d 0 + d 1 x + ... + d n + s −1 x n + s −1 + d n + s x n + s , коэффициенты которого:
d i = ∑ a k bl , i = 0, n + S { d i –результат перемножения таких коэффициентов f(x)
     k + l =i

и g(x) сумма индексов которых равна i и сложения таких произведений}
d 0 = a 0 b0 , d 1 = a 0 b1 + a1b0 ,..., bn + S = a n bS , d n + S ≠ 0 ⇒ степень f(x) g(x) =n+S

8