Методические указания к лабораторным работам по курсу "Дискретная математика". Домашова Д.В - 6 стр.

          Произведение многочленов никогда не будет равно 0.
          Свойства: выполняется коммутативность, ассоциативность сложения и
умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения.
          Роль единицы – число 1, рассматривая как многочлен 0 степени.
          Утверждение. Многочлен                f (x)    обладает обратным     f −1 (x)
 f ( x) f −1 ( x) = 1 <=> если f (x) является многочленом нулевой степени.
          Для умножения многочленов обратной операции – деления не существу-
ет.
          Аналог система целых чисел.
          Для многочленов ∃ алгоритм деления с остатком:
          Алгоритм:
          Для ∀ f(x),g(x) можно найти q(x), r(x): f(x)=g(x)q(x)+r(x), причем степень
r(x) меньше степени g(x) или же r(x)=0. Многочлены q(x) и r(x), удовлетворяю-
щие этому условию, определяются однозначно.

                                      2.3 Делитель

       Пусть f(x), ϕ (x) – многочлены.
       Определение. Если остаток от деления f(x) на ϕ (x) равен 0, то многочлен
ϕ (x) называется делителем многочлена f(x).
       Утверждение. Многочлен ϕ (x) – делитель f(x) < = > если ∃ φ (x):
       f(x)= ϕ (x) φ (x)

      2.3.1 Свойства делимости

      а) Если f(x): g(x), g(x):h(x) =>f(x):h(x);
      б) f(x): ϕ(x), g(x): ϕ(x) => f(x)±g(x): ϕ(x);
      в) f(x): ϕ(x)=> ∀g(x) f(x)g(x): ϕ(x);
      г) f1(x), f2(x), …, fk(x): ϕ(x) => f1(x)g1(x)+ f2(x)g2(x)+…+ fk(x)gk(x): ϕ(x);
      д) ∀f(x) делится на любой многочлен нулевой степени;
      е) f(x):ϕ(x) => f(x): cϕ(x), c∈Ζ, c≠0;
      ж) Многочлены cf(x), c≠0, и только они будут делителями множества f(x),
      имеющим такую же степень что и f(x);
      з) Многочлены f(x) и g(х) одновременно делятся друг на друга
             g(x)=c f(x), c≠0;
      и) Всякий делитель одного из двух многочленов f(x), cf(x), c≠0, будет де-
      лителем многочлена и для другого многочлена.

                         2.4 Наибольший общий делитель

       Даны: f(x), g(x).
       Определение. Многочлен ϕ(x) называется общим делителем для f(x) и
g(x), если он служит делителем для каждого из этих многочленов.

                                                                                      9