Методические указания к лабораторным работам по курсу "Дискретная математика". Домашова Д.В - 8 стр.

       Степень многочлена в [v(x)+f(x)q(x)] будет в свою очередь меньше степе-
ни f(x), так как в противном случае степень второго слагаемого левой части бы-
ла бы не меньше степени произведения g(x)f(x), а так как степень первого сла-
гаемого меньше степени этого произведения, то вся левая часть имела бы сте-
пень большую или равную степени g(x)f(x), тогда как многочлен d(x) заведомо
имеет меньшую степень.
       Утверждение. Многочлены f(x) и g(x) взаимно просты          если можно
найти u(x) и v(x): f(x)u(x)+g(x)v(x)
       Следствие. Если многочлен f(x) взаимно прост с каждым из многочленов
e(x) и t(x) => он взаимно прост и с их произведением.
       Следствие. Если произведение многочленов f(x) и g(x) делится на ϕ(x), но
f(x) и ϕ(x) взаимно просты, то g(x) делится на ϕ(x)
       Следствие. Если многочлен f(x) делится на каждый из многочленов ϕ(x) и
ψ(х), которые между собой взаимно просты => f(x) делится и на их произведе-
ние.

                                        2.6 Корни многочленов

         Если a 0 x n + a1 x n −1 + ... + a n − z x + a n = f ( x) ∀c∈Z =>
a 0 c n + a1 c n −1 + ... + a n − z c + a n = f (c) – значение многочлена f(x) при x=c
         Если ϕ ( x) = f ( x) + g ( x) , ϕ ( x) = f ( x) g ( x)φ => ϕ (c) = f (c) + g (c) , φ (c) = f (c) g (c)
          Сложение и умножение многочленов превращаются при теоретика–
функциональной точке зрения на многочлены в сложении и умножение функ-
ций, понимаемые в смысле сложения и умножения соответственных значений
этих функций.
          Определение. Если f(c)=0 для некоторого c, то c называется корнем мно-
гочлена f(x).
          Утверждение. Остаток от деления многочлена f(x) на линейный много-
член x–c равен значению f(c)= многочлена f(x) при x=c.
          Доказательство: f(x)=(x-c)g(x)+r положим x=c => f(c)=(c-c)g(c)+r => f(c)=r
Если f(x) : f ( x) = ( x − c) k ϕ ( x) k–краткость корня c в многочлене f(x) Если k=1 =>
c– простой.

                                  2.7 Основная теорема алгебры

      Теорема. Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, сте-
пень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в обычном случае
комплексный.
      Следствие. Пусть дан a 0 x n + a1 x n −1 + ... + a n − z x + a n = f ( x) . По основной тео-
реме алгебры y=f(x) ∃ корень α 1 => f(x)=(x- α 1 ) ϕ (x) по основной теореме алгеб-
ры ϕ (x) имеет корень α 2 => f(x)=(x- α 1 )(x- α 2 ) ϕ (x) и т.д.=> f(x)=(x- α 1 )(x- α 2 )…(x-
αn)
      Следствие. Такое разложение для f(x)– единственное.

                                                                                                            11