Методические указания к лабораторным работам по курсу "Дискретная математика". Домашова Д.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

(a
0,
a
1
, a
2
, …, a
n-1
, a
n
)=(a
0
)+(0, a
1
)+(0, 0, a
2
)+…+(0, …, 0, a
n-1
)+(0, 0, …, 0,
a
n
)=
=(a
0
)+(a
1
)(0,1)+(a
2
)(0,0,1)+…+(a
n-1
)(0,…,0,1)+(a
n
)(0,…,0,0,1)=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+…+
+a
n-1
x
n-1
+a
n
x
n
всякая упорядоченная система вида (2.8) может быть записана в виде
многочлена относительно х с коэффициентами из поля Р, причем эта
запись будет, очевидно, однозначной.
построим коммутативное кольцо многочленов P[x] от неизвестного х
называется полем Р.
В кольце P[x] содержится само поле Р.
Кольцо P[x] обладает единицей, не содержит делителей нуля и не являет-
ся полем.
На случай кольца многочленов над полем Р применяется вся теория де-
лимости многочленов:
– имеет место алгоритм деления с остатком причем и частное, и остаток
принадлежат P[x]
– имеет смысл понятие делителя и сохраняются все основные свойства.
– сохраняются определение и все свойства НОД, алгоритм Евклида и тео-
рема Евклида
– сохраняет смысл понятие корня и основные свойства корней
2.9 Разложение многочленов на неприводимые множители
Определим многочлены, которые играют в кольце многочленов такую же
роль, какую в кольце целых чисел играют простые числа.
Речь идет о многочленах deg(f(x))
≥1
Пусть дана f(x), deg(f(x))=n
≥1 с коэффициентами из поля Р.
Все многочлены нулевой степени – делители для f(x). сf(x) – тоже делители,
с≠0 из Р причем больше делителей степени n нет.
Определение. Многочлен f(x) степени n называется неприводимым над
полем Р, если он не имеет делителей среди многочленов с коэффициентами из
F, степени 0<m<n. Иначе он приводим.
Определение. Многочлен f(x) степени n приводим в Р, если он может
быть расположен над этим полем в произведении двух множителей, степени
которых меньше n: f(x)=
ϕ(x)ψ(x) и f(x) – неприводим в поле Р, если в любом
его расположении один из множителей имеет степень 0, другой степень n.
Примеры.
a) многочлен х
2
-2 не приводим в поле рациональных чисел, но в поле
действительных чисел он приводим: х
2
-2= )2)(2 +− xx(
б) х
2
+1 – не приводим в поле рациональных и действительных чисел, но
приводим в области комплексных чисел.
2.10 Свойства неприводимых многочленов
а) Всякий многочлен первой степени неприводим;
13
       (a0, a1, a2, …, an-1, an)=(a0)+(0, a1)+(0, 0, a2)+…+(0, …, 0, an-1)+(0, 0, …, 0,
       an)=
=(a0)+(a1)(0,1)+(a2)(0,0,1)+…+(an-1)(0,…,0,1)+(an)(0,…,0,0,1)=a0+a1x+a2x2+…+
+an-1xn-1+anxn
            всякая упорядоченная система вида (2.8) может быть записана в виде
            многочлена относительно х с коэффициентами из поля Р, причем эта
            запись будет, очевидно, однозначной.
            построим коммутативное кольцо многочленов P[x] от неизвестного х
            называется полем Р.
       В кольце P[x] содержится само поле Р.
       Кольцо P[x] обладает единицей, не содержит делителей нуля и не являет-
ся полем.
       На случай кольца многочленов над полем Р применяется вся теория де-
лимости многочленов:
       – имеет место алгоритм деления с остатком причем и частное, и остаток
       принадлежат P[x]
       – имеет смысл понятие делителя и сохраняются все основные свойства.
       – сохраняются определение и все свойства НОД, алгоритм Евклида и тео-
       рема Евклида
       – сохраняет смысл понятие корня и основные свойства корней

        2.9 Разложение многочленов на неприводимые множители

      Определим многочлены, которые играют в кольце многочленов такую же
роль, какую в кольце целых чисел играют простые числа.
      Речь идет о многочленах deg(f(x))≥1
      Пусть дана f(x), deg(f(x))=n≥1 с коэффициентами из поля Р.
Все многочлены нулевой степени – делители для f(x). сf(x) – тоже делители,
с≠0 из Р причем больше делителей степени n нет.
      Определение. Многочлен f(x) степени n называется неприводимым над
полем Р, если он не имеет делителей среди многочленов с коэффициентами из
F, степени 0

Страницы