Методические указания к лабораторным работам по курсу "Дискретная математика". Домашова Д.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Следствие. В общем случае :
=> всякий многочлен f(x) степени n, n >=1 с любыми числовыми
коэффициентами, имеет n корней, если каждый корень считается один раз, ка-
кова его кратность.
Ke
e
KK
xxxaxf )...()()()(
2
2
1
10
ααα
−−−=
nkekk =++ ..21
2.8 Алгебра многочленов над произвольным полем
Придадим точный смысл понятию многочлена над производным полем.
Нужно вспомнить две точки зрения на понятия многочлена – формально–
алгебраического и теоретика–функционального.
Будучи равносильными, для случая числовых полей, и для бесконечных
полей вообще, для конечных полей они уже перестают быть равносильными.
Рассмотрим, например, поле
, состоящее из двух элементов 0 и1, при-
чем 1+1=0.
2
Z
Многочлены x+1 и x
2
+1 с коэффициентами из этого поля являются раз-
личными, т.е. не удовлетворяют алгебраическому определению равенства мно-
гочленов.
Но! При x=0 => x+1=x
2
+1=1,
x=1 => x+1= x
2
+1=0 =>
как функция от x, принимающего значения из
, они должны считаться
равными.
2
Z
Для Z
3
такие многочлены: x
3
+x+1 и 2x+1
Следовательно, в случае произвольного поля P невозможно принять тео-
ретика–функциональное точку зрения на многочлены.
Следовательно, произведем такое построение кольца многочленов над
произвольным полем P, которое не используется с самого начало обычной за-
писи многочленов через “неизвестное” x.
Рассмотрим всевозможные упорядоченные системы элементов поля Р
имеющие вид:
(а
0
, а
1
, …, а
n-1
, a
n
)
(2.8)
n – произвольно, n
≥0 (при n>0 должно быть а
n
≠0)
Определим для систем (2.8) сложение и умножение, как то было раньше:
c
i
=a
i
+b
i
, n,i 1=
i=0,1,…,n+s => получим коммутативное кольцо
∑
=+
=
ilk
lki
bad
Отождествим системы (а), n=0 с соответствующими элементами а поля р, т.е.
положим (а)=а
∀а∈Р. Найдем соответствие между теорией функции и фор-
мальной алгеброй.
Обозначим систему (0,1) буквой Х: Х=(0,1), следовательно по правилу
умножения:
Х
2
=(0,1)*(0,1)=0*0+1*0+0*1+1*1=0*0+1*0+1*1=(0,0,1)
Х
2
=(0,0,1)
Х
k
=(0,…,0,1)
k
получим:
12
        Следствие. В общем случае : f ( x) = a 0 ( x − α 1 ) K 1 ( x − α 2 ) K 2 ...( x − α e ) Ke
k1 + k 2 + ..ke = n => всякий многочлен f(x) степени n, n >=1 с любыми числовыми
коэффициентами, имеет n корней, если каждый корень считается один раз, ка-
кова его кратность.

                       2.8 Алгебра многочленов над произвольным полем
      Придадим точный смысл понятию многочлена над производным полем.
Нужно вспомнить две точки зрения на понятия многочлена – формально–
алгебраического и теоретика–функционального.
      Будучи равносильными, для случая числовых полей, и для бесконечных
полей вообще, для конечных полей они уже перестают быть равносильными.
      Рассмотрим, например, поле Z 2 , состоящее из двух элементов 0 и1, при-
чем 1+1=0.
      Многочлены x+1 и x2+1 с коэффициентами из этого поля являются раз-
личными, т.е. не удовлетворяют алгебраическому определению равенства мно-
гочленов.
      Но! При x=0 => x+1=x2+1=1,
                  x=1 => x+1= x2+1=0 =>
      как функция от x, принимающего значения из Z 2 , они должны считаться
равными.
      Для Z3 такие многочлены: x3+x+1 и 2x+1
      Следовательно, в случае произвольного поля P невозможно принять тео-
ретика–функциональное точку зрения на многочлены.
      Следовательно, произведем такое построение кольца многочленов над
произвольным полем P, которое не используется с самого начало обычной за-
писи многочленов через “неизвестное” x.
      Рассмотрим всевозможные упорядоченные системы элементов поля Р
имеющие вид:
      (а0, а1, …, аn-1, an)
      (2.8)
n – произвольно, n ≥0 (при n>0 должно быть аn≠0)
      Определим для систем (2.8) сложение и умножение, как то было раньше:
      ci=ai+bi,       i = 1, n
       d i = ∑ a k bl          i=0,1,…,n+s => получим коммутативное кольцо
            k + l =i

Отождествим системы (а), n=0 с соответствующими элементами а поля р, т.е.
положим (а)=а ∀а∈Р. Найдем соответствие между теорией функции и фор-
мальной алгеброй.
     Обозначим систему (0,1) буквой Х: Х=(0,1), следовательно по правилу
умножения:
     Х2=(0,1)*(0,1)=0*0+1*0+0*1+1*1=0*0+1*0+1*1=(0,0,1)
     Х2=(0,0,1)
     Хk=(0,…,0,1)
            k
        получим:
12

Страницы