Единый государственный экзамен как экспериментальная педагогическая технология. Донцов В.Н. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
2 способ : применение производной функции
к её исследованию на наибольшее и наименьшее значение
Введём в рассмотрение функцию f(x) = x +
2
1 х− , найдём её область
определения D(f) и множество значений Е (f).
1) D(f): 1 – x
2
≥ 0
⇔
x
2
≤ 1
⇔
| x | ≤ 1. Итак, D(f) = [-1; 1].
2) Так как рассматриваемая функция непрерывна на отрезке [-1; 1], то по й
теореме Вейерштрасса она достигает на нём своего наибольшего и наи-
меньшего значения. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения не-
прерывной на отрезке [a; b] функции, имеющей на интервале (a; b) конеч-
ное число критических точек, достаточно вычислить значения функции во
всех критических точках, принадлежащих интервалу (a; b), а также в кон -
цах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее
значения.
а ) f´(x) = ( x +
2
1 х−
)´ = 1 –
2
1 х
х
−
=
2
1
2
1
х
хх
−
−−
.
б) f´(x) = 0, если
2
1 х−
= x
⇔
1
2.
;
0,
0,
1
2
21;
2
x
х
х
х
х

⇔=

≥
≥
⇔
=±
=
1
x⇔=
Так как x = 1 / 2
принадлежит интервалу ( – 1; 1), то x = 1 / 2
-
критическая точка данной функции (по определению ).
в) Вычислим: f(– 1) = – 1, f(1) = 1, f( 1 / 2
) = (1 / 2
) +
2
1
1− =
= 2 / 2 = 2 .
Таким образом ,
)
(
]1;1[
max
x
f
−
= f( 1 / 2
) = 2 ,
)
(
]1;1[
min
x
f
−
= f(– 1) = – 1,
Е (f) = [– 1; 2 ] и данное уравнение имеет единственный корень x = 2 / 2.
Ответ: x = 2 / 2. 
                                          29


              2 способ: применение производной функции
       к её исследованию на наибольшее и наименьшее значение

  Введём в рассмотрение функцию f(x) = x + 1 −х 2 , найдём её область
определения D(f) и множество значений Е(f).
1) D(f): 1 – x2 ≥ 0 ⇔ x2 ≤ 1 ⇔ | x | ≤ 1. Итак, D(f) = [-1; 1].
2) Так как рассматриваемая функция непрерывна на отрезке [-1; 1], то по й
теореме Вейерштрасса она достигает на нём своего наибольшего и наи-
меньшего значения. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения не-
прерывной на отрезке [a; b] функции, имеющей на интервале (a; b) конеч-
ное число критических точек, достаточно вычислить значения функции во
всех критических точках, принадлежащих интервалу (a; b), а также в кон-
цах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее
значения.



                                      х       1 −х 2 −х
а) f´(x) = ( x + 1 −х 2 )´ = 1 –            =           .
                                     1 −х 2     1 −х 2
                                                     �х ≥0,
                                      �х ≥0,
                                      �              �
б) f´(x) = 0, если    1 −х 2 = x ⇔    � 2      ⇔     �      1 ⇔ x = 12. ⇔ x = 1
                                      �2 х =1;       �х =±     ;
                                                     �       2                 2.


   Так как x = 1 / 2 принадлежит интервалу ( – 1; 1), то x = 1 /            2 -
критическая точка данной функции (по определению).

                                                                    1
в) Вычислим: f(–1) = –1, f(1) = 1, f( 1 /      2 ) = (1 /   2 ) + 1− =
                                                                    2
=2/    2 =      2.


Таким образом, max f ( x) = f( 1 /        2 )=      2 , min f ( x) = f(–1) = –1,
              [−1; 1]                                  [−1; 1]

Е(f) = [–1;     2 ] и данное уравнение имеет единственный корень x =          2 / 2.


Ответ:        x = 2 / 2.

Страницы