Единый государственный экзамен как экспериментальная педагогическая технология. Донцов В.Н. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

32
5 способ решения методом умножения
иррационального уравнения на функцию
1) Прежде чем умножить исходное уравнение x +
2
1 х− = 2 (*) на
функцию , «сопряжённую» его левой части, т .е. на алгебраическое выраже-
ние (x –
2
1 х− ), найдём его ноль методом равносильных переходов:
.
2
2
;1
2
2
,0
;
22
1
,0
2
1 =⇔
=
≥
⇔
=−
≥
⇔=−
x
x
x
xx
x
xx
Проверка подстановкой (устно) в исходное уравнение убеждает , что
x = 2 / 2 – его корень. Но он может быть не единственным для исходно-
го уравнения.
2) Перейдём к уравнению -следствию
)
2
1(21
2
2)
2
1(2)
2
1)(
2
1((*) xхxx хxxxx −−⋅=−⇔−−⋅=−−−+⇒
| Разделим обе части на 2
| .
2
1
2
2
2
1 −=−−⇔ xxx
От системы
−−=−−
=−+
)(
2
1
2
2
2
1
),(2
2
1
следствиеуравнениеххх
уравнениеисходноехх
перейдём к новому уравнению -следствию , сложив оба уравнения:
2x = 2 x
2
- 1 / 2 + 2
⇔
( 2 x – 1)
2
= 0
⇔
x = 2 / 2.
Итак, других корней, кроме x = 2 / 2, исходное уравнение не имеет .
Ответ: x =
2
/ 2.
Методическое замечание . В некоторых пособиях, адресованных школьникам и аби-
туриентам, опромётчиво рекомендуется подход, называемый методом «использова -
ния формулы сокращённого умножения А +
В
= (A
2
– B) / (A –
В
)» . Но он мо-
жет приводить при применении формулы“слева – направо” к потере корней, которые
являются корнями уравнения вида А –
В
= 0. 
                                          32



                   5 способ решения методом умножения
                  иррационального уравнения на функцию

1) Прежде чем умножить исходное уравнение x + 1 −х 2 = 2 (*) на
функцию, «сопряжённую» его левой части, т.е. на алгебраическое выраже-
ние (x – 1 −х 2 ), найдём его ноль методом равносильных переходов:
                            �x ≥0,               �x ≥0,
                                                 �
                1 −x 2 =x ⇔ �
                                                               2
                            �    2  2 ⇔          � 2      ⇔ x= .
                            �1 −x =x ;           �2 x =1;
                            �                    �            2

Проверка подстановкой (устно) в исходное уравнение убеждает, что
x = 2 / 2 – его корень. Но он может быть не единственным для исходно-
го уравнения.
2) Перейдём к уравнению-следствию

 (*) ⇒ ( x + 1 −x 2 )( x − 1 −x 2 ) = 2 ⋅ ( х − 1 −x 2 ) ⇔ 2 x 2 −1 = 2 ⋅ ( х − 1 −x 2 )
                                                             1
|Разделим обе части на 2 | ⇔ x − 1 −x 2 = 2 x 2 − .
                                                              2

                    �         2
                    �х + 1 −х = 2 (исходное уравнение),
                    �
   От системы       �
                    �х − 1 −х 2 = 2 х 2 − 1 ( уравнение −следствие)
                    �
                    �                      2

перейдём к новому уравнению-следствию, сложив оба уравнения:

   2x = 2 x2 - 1 / 2 + 2 ⇔ ( 2 x – 1)2 = 0 ⇔ x = 2 / 2.
Итак, других корней, кроме x = 2 / 2, исходное уравнение не имеет.

 Ответ:      x=    2 / 2.


Методическое замечание. В некоторых пособиях, адресованных школьникам и аби-
туриентам, опромётчиво рекомендуется подход, называемый методом «использова-
ния формулы сокращённого умножения А + В = (A2 – B) / (A – В )». Но он мо-
жет приводить при применении формулы“слева – направо” к потере корней, которые
являются корнями уравнения вида А –     В = 0.

Страницы