Единый государственный экзамен как экспериментальная педагогическая технология. Донцов В.Н. - 33 стр.

                                          33



      6 способ решения методом тригонометрической подстановки

Эвристическое правило. Если в иррациональное уравнение входит:
 1) радикал а 2 −х 2 , где а ≠ 0, то можно сделать одну из двух триго-
нометрических подстановок:
    a) x = |a|sint, где –π/2 ≤ t ≤ π/2, или
    б) x = |a|cost, где 0 ≤ t ≤ π;
 2) радикал а 2 +х 2 , где а ≠ 0, то можно сделать тригонометрическую
подстановку x = |a|tgt, где –π/2 < t < π/2;
 3) радикал х 2 −а 2 , где а ≠ 0, то можно сделать одну из двух тригоно-
метрических подстановок:
  a) x = |a| / cost, где 0 ≤ t ≤ π и t ≠ π/2, или
  б) x = |a| /sint, где –π/2 ≤ t ≤ π/2 и t ≠ 0.
 Рассмотрим два приёма (А,Б) рационализирующей тригонометрической
подстановки.
 А-приём. Так как ОДЗ решаемого уравнения x + 1 −х 2 = 2 есть отре-
зок [-1; 1], причём числа x = ±1 не являются его корнями, то сделаем
подстановку x = cost, где 0 < t < π, а поэтому sint > 0. Для нахождения cost
(но не t) получим уравнение cost + sint = 2 , которое здесь удобнее всего
решать методом возведения обеих частей в квадрат (переходом к однород-
ному уравнению-следствию):
 cos t + sin t = 2 ⇒ (cos t + sin t)2 = 2 ⇔ cos2t + sin2t + 2 sin t cos t = 2
⇔ 2 sin t cos t = cos2t + sin2t (однородное уравнение).
    Заметим, что из последнего уравнения необходимо следует, что
sin t cos t > 0 и так как при 0 < t < π sin t > 0, то cos t > 0. Поэтому в
уравнении cos t + sin t = 2 обе части положительны и возведение его в
квадрат на предыдущем шаге не приведёт к появлению посторонних кор-
ней. Итак, при 0 < t < π/2 имеем: (cos t – sin t)2 = 0 ⇔ cos t = sin t ⇔ tg t = 1.
                        1
Поэтому cos t =              = 1 / 2 и x = 2 / 2. Ответ:x = 2 / 2.
                          2
                     1 +tg t
  Б-приём. Покажем решение уравнения x + 1 −х 2 = 2 , где −1 < x <1,
 с помощью тригонометрической подстановки x = sin t, где –π/2 < t < π/2,
а поэтому cos t > 0. Для нахождения sin t получим уравнение cos t + sin t =
  2 , из которого следует, что (cos t + sin t)2 = 2 ⇔ tg t = 1. По-прежнему
здесь sin t и cos t положительны и 0 < t < π/2. Поэтому
                         tgt
sin t = tgt ⋅ cos t =              =1/   2 и x=   2 / 2. Ответ:    x = 2 / 2.
                        1+tg 2 t