Единый государственный экзамен как экспериментальная педагогическая технология. Донцов В.Н. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

35
a) Для выражения )1;1( −∈ х через t < 0 имеем уравнение:
2
1 х−
= tx – t
⇔
| Т.к. х
−
1<0 и t < 0, то t x – t > 0.|
⇔
(t x – t)
2
= 1 – x
2
⇔
(t
2
+ 1)x
2
−
2t
2
x + (t
2
−
1) = 0
⇔
1(1;1),
2
1
(1;1).
2
1
x
t
x
t
=∉−
−
=∈−
+
Итак, x =
1
2
1
2
+
−
t
t
.
б) Выразим через t < 0 выражение
2
1 х− =
2
1
1
2
1
()
t
t
−
−
+
=
=
1
2
2
1
2
||2
1
2
2
4
+
−
=
+
=
+
t
t
t
t
t
t
. Для нахождения нового неизвестного t ( t< 0 )
имеем рациональное уравнение:
1
2
1
2
+
−
t
t
–
1
2
2
+
t
t
= 2
⇔
( 2 – 1)t
2
+ 2t +
+( 2 + 1) = 0
⇔
t
2
+ 2t( 2 + 1) + ( 2 + 1)
2
= 0
⇔
(t + ( 2 + 1))
2
= 0
⇔
t = – ( 2 + 1). Поэтому x =
)22(2
)22(2
1
2
)12(
1
2
)12(
+
+
=
++
−+
= 2 / 2.
Ответ: x =
2
/ 2.
Б - приём . Покажем решение уравнения x +
2
1 х−
=
2
, где
−
1 < x < 1,
с помощью подстановки Эйлера вида t =
1
2
1
+
−
x
x
, где t > 0 при x + 1 > 0.
Выразим x и
2
1 х−
через t > 0.
а ) Для – 1 < x < 1 и t > 0 имеем уравнение:
2
1 х−
= tx + t
⇔
(tx + t)
2
= 1 – x
2
⇔
(t
2
+ 1)x
2
+ 2 t
2
x + (t
2
– 1) = 0
⇔
⇔
1(1;1),
2
1
(1;1).
2
1
x
t
x
t
=−∉−
−
=−∈−
+
Итак, x = –
1
2
1
2
+
−
t
t
.
б) Выразим через t > 0 выражение
2
1 х− =
2t
2
(t+1)
2
1
2
1
2
1
()
t
t
−
−
+
=
2t
2
(t+1)
.
Для нахождения нового неизвестного t ( t> 0 ) имеем рациональное урав-
нение: (2t / (t
2
+ 1)) - ((t
2
– 1) / (t
2
+ 1)) = 2
⇔
( 2
+ 1)t
2
– 2 t + ( 2 – 1)
= 0
⇔
(t – ( 2 – 1))
2
= 0
⇔
t = 2
– 1. Поэтому
x = – (( 2 – 1)
2
– 1)/(( 2
- 1)
2
+1) = 2 (2– 2 )/ (2(2– 2 ))= 2 /2.
Ответ: x =
2
/ 2. 
                                          35




a) Для выражения х ∈(−1; 1) через t < 0 имеем уравнение:
 1 −х 2 = tx – t ⇔ | Т.к. х −1<0 и t < 0, то t x – t > 0.| ⇔ (t x – t)2 = 1 – x2
                                   �x =1∉(−1; 1),
                                   �                              t 2 −1
⇔ (t2 + 1)x2 −2t2x + (t2 −1) = 0 ⇔ � t 2 −1             Итак, x =        .
                                   �x =       ∈(−1; 1).             2
                                                                  t +1
                                   �
                                   �   t 2 +1
                                                                  2
б) Выразим через t < 0 выражение               1 −х 2 = 1 −     (t 2 −1)2   =
                                                                 t +1
      4t 2   2|t |    −2t
=          =       =      . Для нахождения нового неизвестного t ( t< 0 )
   t 2 +1 t 2 +1 t 2 +1
                                   t 2 −1     2t
имеем рациональное уравнение:             –         = 2 ⇔ ( 2 – 1)t2 + 2t +
                                     2
                                   t +1 t +1 2
+( 2 + 1) = 0 ⇔ t + 2t( 2 + 1) + ( 2 + 1)2 = 0 ⇔ (t + ( 2 + 1))2 = 0 ⇔
                    2

                               ( 2 +1) 2 −1    2 (2 + 2 )
t = – ( 2 + 1). Поэтому x =                 =             = 2 / 2.
                               ( 2 +1) 2 +1 2(2 + 2 )
Ответ: x = 2 / 2.
Б - приём. Покажем решение уравнения x + 1 −х 2 = 2 , где −1 < x < 1,
                                                  1 −x 2
с помощью подстановки Эйлера вида t =                    , где t > 0 при x + 1 > 0.
                                                  x +1
Выразим x и 1 −х 2 через t > 0.
а) Для –1 < x < 1 и t > 0 имеем уравнение:
  1 −х 2 = tx + t ⇔ (tx + t)2 = 1 – x2 ⇔ (t2 + 1)x2 + 2 t2 x + (t2 – 1) = 0 ⇔
     �x =−1∉( −1; 1),
     �                                    t 2 −1
⇔ �          2
           t −1             Итак,   x = –        .
     �x =−        ∈(−1; 1).                 2
                                          t +1
     �
     �     t 2 +1
                                                         t 2 −1 2
                                                    1 −(       )
                                                2          2 +1           2t
б) Выразим через t > 0 выражение 1 −х =                  t         =           .
                                                     2t               (t 2 +1)
                                                     (t 2 +1)
Для нахождения нового неизвестного t ( t> 0 ) имеем рациональное урав-
нение: (2t / (t2 + 1)) - ((t2 – 1) / (t2 + 1)) = 2 ⇔ ( 2 + 1)t2 – 2 t + ( 2 – 1)
= 0 ⇔ (t – ( 2 – 1))2 = 0 ⇔ t = 2 – 1. Поэтому
x = –(( 2 –1)2–1)/(( 2 - 1)2+1) = 2 (2– 2 )/ (2(2– 2 ))= 2 /2.
Ответ: x = 2 / 2.

Страницы