Единый государственный экзамен как экспериментальная педагогическая технология. Донцов В.Н. - 34 стр.

                                    34



       7 способ решения методом применения векторной формы
                                                    →→ → →
      неравенства Коши-Буняковского-Шварца          u v ≤| u || v |

 Введение в рассмотрение при |x| < 1 в координатной форме двa ненуле-
             →                →
вых вектора u ( x; 1 −x 2 ) и v (1; 1). Вычислим их скалярное произведе-
                −
                →→                 →                 →
ние и длины: u v =x + 1 −x2 , | u |= x2 +1 −x2 =1 , | v |= 12 +12 = 2 .
На векторном языке исходное иррациональное уравнение запишется в виде
→→ → →
 u v =| u || v | . В неравенстве Коши-Буняковского-Шварца равенство
достигается тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны, а для этого
необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны.
Для нахождения −1 < x < 1 имеем уравнение:

                                 �x ≥0,          �x ≥0,
     х   1 −х 2
                     1 −x 2 =x ⇔ �               �           2
       =        ⇔                �       2 ⇔     � 2 1 ⇔ x=    .
                                                 �x =2 ;
                                      2
     1     1                     �1 −x =x ;
                                 �
                                                 �
                                                            2

  Ответ:    x=   2 / 2.

8 способ решения методом рационализирующей подстановки Эйлера

Эвристическое правило. Если функция R(x,      ax 2 +bx +c ) является рацио-
нальной относительно выражений x и ax 2 +bx +c , где а ≠ 0 и D =
= b2 –4ac > 0, то для её рационализации можно сделать подстановку Эй-
лера вида t = ax 2 +bx +c / (x – x1), где x1 – один из корней квадратного
трёхчлена ax2+bx + c. Так как указанная подстановка при решении урав-
нения может приводить к потере корня x= x1, то необходимо всегда
проверять, является ли значение x= x1 его корнем .

  Рассмотрим два приёма (А,Б) рационализирующей подстановки Эйлера
применительно к исходному уравнению.

A - приём. Для уравнения x + 1 −х 2 =   2 с ОДЗ = [–1; 1] значения
                                                       ax2 +bx +c
x = ±1 не являются корнями, и подстановка Эйлера t =                не
                                                           x −1
приведёт к потере корней. Причём при –1 < x < 1 x– 1 < 0, поэтому t < 0.
Выразим x и 1 −х 2 через t.