Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 150 стр.

                                     150

      Решение. Прежде всего напомним, что углом между двумя пересекаю-
щимися окружностями называется угол между касательными к этим окружно-
стям, проведенными через их общую точку.     Рассмотрим          инверсию
плоскости с центром в точке А и произвольным радиусом R. Под действием
инверсии окружность ω1, описанная около треугольника АВС, перейдет в
прямую B`C`, а окружность ω2, описанная около треугольника ABD, перейдет в
прямую B`D`. По свойству инверсии угол между окружностями ω1 и ω2 равен
углу между прямыми B`C` и B`D`, который, в свою очередь, равен половине
дуги D`C` окружности, описанной около треугольника B`C`D`(Рис.16.11).
Далее окружность ω3, описанная около треугольника ACD, перейдет в прямую
C`D`, а окружность ω4, описанная около треугольника BCD, перейдет в
окружность ω4`, описанную около треугольника B`C`D`(Рис.16.12). При этом
угол между окружностями ω3 и ω4 будет равен углу между прямой C`D` и
окружностью ω4`. По определению угла между прямой и окружности получаем,
что угол между прямой C`D` и окружностью ω4` равен углу между секущей
C`D` и касательной к окружности в одной из точек С` или D`. Поскольку этот
угол равен половине дуги D`C`, то получаем, что угол между окружностями ω1
и ω2 равен углу между окружностями ω3 и ω4.
                            C`



                                            D`


                              С


    B`    В                          D



                          А




                         Рис.16.11



                          C`