Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

151
D`
С
B` В D
А
Рис.16.12
Пример 8. Окружности ω
1
и ω
2
, проведенные через данные точки А и В,
касаются окружности
ω, а окружность ω
3
, также проходящая через эти точки,
перпендикулярна окружности
ω. Доказать, что окружность ω
3
образует равные
углы с окружностями
ω
1
и ω
2
(рис.16.13).
Решение. Применим инверсию с центром в точке А. Под действием этой
инверсии окружности
ω
1
, ω
2
, ω
3
перейдут в прямые ω
1
`, ω
2
`, ω
3
`, проходящие
через точку В, а окружность ω перейдет в окружность ω`(рис.16.14). По усло-
вию задачи, окружности
ω
1
и ω
2
касаются окружности ω, а окружность ω
3
ей
перпендикулярна. Следовательно, прямые
ω
1
`
и ω
2
` касаются окружности ω`, а
прямая
ω
3
` ей перпендикулярна. Значит, прямая ω
3
` проходит через центр ок-
ружности
ω`и делит пополам угол, образованный прямыми ω
1
` и ω
2
`. Таким об-
разом, окружность
ω
3
делит пополам угол между окружностями ω
1
и ω
2
.
А
ω
1
ω
2
ω
3
В
ω 
                                    151



                                            D`


                               С


    B`    В                        D

                          А




                  Рис.16.12

      Пример 8. Окружности ω1 и ω2, проведенные через данные точки А и В,
касаются окружности ω, а окружность ω3, также проходящая через эти точки,
перпендикулярна окружности ω. Доказать, что окружность ω3 образует равные
углы с окружностями ω1 и ω2 (рис.16.13).
      Решение. Применим инверсию с центром в точке А. Под действием этой
инверсии окружности ω1, ω2, ω3 перейдут в прямые ω1`, ω2`, ω3`, проходящие
через точку В, а окружность ω перейдет в окружность ω`(рис.16.14). По усло-
вию задачи, окружности ω1 и ω2 касаются окружности ω, а окружность ω3 ей
перпендикулярна. Следовательно, прямые ω1` и ω2` касаются окружности ω`, а
прямая ω3` ей перпендикулярна. Значит, прямая ω3` проходит через центр ок-
ружности ω`и делит пополам угол, образованный прямыми ω1` и ω2`. Таким об-
разом, окружность ω3 делит пополам угол между окружностями ω1 и ω2.




                      А

                 ω1           ω2       ω3

                      В


                          ω

Страницы