Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 153 стр.

                                      153

      в) прямая m касается окружности инверсии.
      2. Построить образ отрезка АВ при инверсии с центром в некоторой точке
О и радиусом R.
      3. Инверсия плоскости задана точкой О и радиусом R. Построить образ тре-
угольника при инверсии, описанного около окружности инверсии.
      4. Инверсия плоскости задана точкой О и радиусом R. Построить образ
треугольника, одна сторона которого служит хордой окружности инверсии, а
две другие – касательные к ней.
      5. Инверсия плоскости задана точкой О и радиусом R. Построить образ
квадрата, две вершины которого лежат на окружности инверсии, а третья – в
центре инверсии.
      6. Две окружности касаются друг друга в точке А. Приняв точку А за
центр окружности, построить образ данной фигуры. Исследовать случаи, когда
окружности касаются внешним образом и внутренним образом.
      7. Через точки А и В проведены окружности ω1 и ω2, касающиеся окруж-
ности ω. Доказать, что окружность ω3, перпендикулярная к окружности ω, об-
разует равные углы с окружностями ω1 и ω2.
      8. Четырехугольник вписан в окружность ω1 и описан около окружности
ω2. Доказать, что отрезки, соединяющие точки касания противоположных сто-
рон с вписанной окружностью, перпендикулярны.
      9. В треугольнике АВС сторона АС наибольшая. Доказать, что для любой
точки М плоскости АМ + СМ ≥ ВМ. Когда достигается равенство?
      10. Точка М лежит на меньшей дуге А1 Аn окружности, описанной около
правильного n-угольника А1 А2 ... Аn . Доказать, что
              1        1                   1         1
                   +          + ... +            =         .
           МА 1МА 2 МА 2 МА 3         МА n −1МА n MA 1MA n


      11. На плоскости дана точка А и две прямые, не проходящие через эту
точку. Построить, используя циркуль и линейку, окружность, проходящую че-
рез точку А и касающуюся данных прямых.
      12. В пространстве дана точка А и три плоскости α, β, γ, не проходящие
через эту точку. Построить сферу, проходящую через точку А и касающуюся
данных плоскостей.
      13. На плоскости даны три окружности. Построить, используя циркуль и
линейку, окружность, касающуюся данных окружностей. (Эта задача хорошо
известна как задача Аполлония).
      14. В пространстве даны четыре сферы ω1(О1, R1), ω2(О2, R2), ω3(О3, R3) и
ω4(О4, R4). Построить сферу, касающуюся данных сфер.
      15. В пространстве даны две различны точки А, В и две плоскости α и β,
не проходящие через эти точки. Построить сферу, проходящую через точки А,
В и касающуюся плоскостей α и β.
      16. На плоскости даны две точки А и В и прямая, не проходящая через эти