Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 149 стр.

                                    149

    Подставляя эти значения в равенство C`D` = B`C` + B`D`, получаем, что
АB CD = BD AC + BC AD.

      Пример 6. В трапеции ABCD на основании AD взята точка
М. Пусть ω1 и ω2 – окружности, проходящие, соответственно, через
точки А, В, М и С, D, М (рис.16.10). Доказать, что вторая точка пересечения
окружностей, точки В, С и точка Е пересечения боковых сторон трапеции
лежат на одной окружности, а точки M, N и Е лежат на одной прямой.
      Решение. Для решения задачи применим инверсию с центром в
точке Е пересечения боковых сторон трапеции и радиусом
R = AE ⋅ BE . Нетрудно показать, что в этой инверсии точки А, D, М перей-
дут в точки В, С, М'. По следствию 3 теоремы 1 точки А, В, М и М' располага-
ются на одной окружности, а точки С, D, М и М' – на другой окружности. По-
скольку точки М и M` являются соответственными в данной инверсии, следо-
вательно, точки М, N=M` и Е (центр инверсии) лежат на одной прямой. Итак,
мы показали, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ω1
и ω2, проходит через точку пересечения боковых сторон трапеции. Так как
точки А, М, D лежат на одной прямой, не проходящей через центр инверсии, то
их образы В, M`, С будут лежать на одной окружности, проходящей через
центр Е инверсии.
      Таким образом, получаем, что точка пересечения боковых сторон трапе-
ции, ее вершины В и С и вторая точка N пересечения окружностей ω1 и ω2 ле-
жат на одной окружности.




                                 Рис.16.10

     Пример 7. Дан четырехугольник ABCD. Доказать, что угол между ок-
ружностями, описанными около треугольников АВС и АВD равен углу между
окружностями, описанными около треугольников АСD и BCD.