Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 148 стр.

                                         148




                                    Рис. 16.8
     Подставляя полученные значения в равенство A`B` = A`C` + C`B`, полу-
чим равенство
                          1     1     1
                             =     +
                        МА МВ МА МС МВ МС
или
                               МС = МА + МВ .

      Пример 5. Доказать, что во вписанном в окружность четырехугольнике
произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противополож-
ных сторон (теорема Птолемея) (рис.16.9).
      Решение. Применим инверсию с центром в точке А и произвольным
радиусом R. По свойству 4 инверсии окружность, проходящая через центр
инверсии, переходит в прямую, не проходящую через него. Следовательно,
окружность, описанная около четырехугольника ABCD, перейдет в прямую
ω`, проходящую через точки пересечения этой окружности с окружностью
инверсии. Построим образы B`, C`, D` точек В, С, D. Пусть точка B` лежит ме-
жду                                                                   точками
С` и D`, тогда C`D` = B`C` + B`D`. По следствию 2 из теоремы 1 имеем:
                          R2                R2                R2
               B`D` = BD       , B`C` = CB       , C`D` = CD       .
                         AB AD             AB AC             AC AD


                                               C
                                   C`
                               А
                                    B`
                              D`



                                                                       B

                                               D


                                    Рис. 16.9