Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 147 стр.

                                     147

сии построим касательные к ней, которые пересекают прямую ОА в одной и той
же точке А` - образе точки А. Аналогично можно построить образ B` точки В
при инверсии. Прямая А`В` представляет образ окружности, проходящей через
центр О инверсии радиуса R.
                                  А`



             M
                     А                                   B`
                 О   B
                           N




                                           Рис.16.7

      Пример 4. Произвольная точка М окружности, описанной около пра-
вильного треугольника АВС, соединена с его вершинами (рис. 16.8). Доказать,
что один из отрезков МА, МВ, МС равен сумме двух других.
      Решение. Применим инверсию с центром в точке М и каким-нибудь ра-
диусом R. Под действием инверсии точки А, С и В перейдут, соответственно, в
точки A`, C` и B`, которые по свойству 4 лежат на одной прямой, проходящей
через точки пересечения данной окружности с окружностью инверсии. Пусть
точка C` лежит между точками А` и В`. Тогда A`B` = A`C` + C`B`. По следст-
вию 2 из теоремы 1 имеем:
                       R2                R2                R2
             А`В`= АB       , А`C` = АC       , C`В` = CВ       .
                      AМ ВМ             AМ СМ             МC МВ


                               А


                                            A`
                                           `
                                                     M
                                               C`

                                                 B`
                     С
                                                 В