Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 181 стр.

                                     181

     27. В выпуклом четырехугольнике ABCD точка Р – середина стороны
АВ. Известно, что площадь треугольника PCD равна половине площади четы-
рехугольника ABCD. Докажите, что прямая ВС параллельна прямой AD.
      28. Через вершины произвольного четырехугольника проведены прямые,
параллельные его диагоналям. Найти отношение площади четырехугольника,
образованного этими прямыми, к площади данного четырехугольника.
      29. Доказать, что если через вершины четырехугольника провести пря-
мые, параллельные его диагоналям, то площадь параллелограмма, определяемо-
го этими прямыми, в два раза больше площади данного четырехугольника.
      30. Площадь четырехугольника равна S. Найти площадь параллелограм-
ма, стороны которого равны и параллельны диагоналям четырехугольника.
      31. В четырехугольнике ABCD через середину диагонали BD проведена
прямая, параллельная другой диагонали АС. Эта прямая пересекает сторону AD
в точке Е. Доказать, что отрезок делит четырехугольник ABCD на равновеликие
части.
      32. На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD взяты, соответственно,
точки Е и F так, что отрезок EF параллелен диагонали BD. Докажите, что пло-
щади треугольников ВСЕ и CDF равны.
      33. На сторонах АВ, ВС, СD и DA параллелограмма ABCD выбраны точ-
ки D1, A1, B1 , C1 так, что каждый из отрезков D1B, A1C, B1D, C1A составляет
треть соответствующей стороны. Прямые АА1, ВВ1, СС1, DD1, пересекаясь по-
парно, образуют четырехугольник А2В2С2D2. Найти его площадь, если площадь
параллелограмма ABCD равна S.
      34. Вершины параллелограмма соединены с серединами противополож-
ных сторон. Вычислить площадь получившегося восьмиугольника, если пло-
щадь параллелограмма равна Q.
      35. На сторонах АВ, ВС, CD, DА параллелограмма ABCD выбраны точки
С1, D1, A1,B1 так, что каждый из отрезков C1B, D1C, A1D, B1A составляет треть
соответствующей стороны. Прямые АА1 и ВВ1, ВВ1 и СС1, СС1 и DD1, DD1 и
АА1 пересекаются в точках А2, В2, С2, D2. Доказать, что каждый из четырех-
угольников A1B1C1D1 и А2В2С2D2 является параллелограммом. Найти площадь
каждого из них, если площадь данного параллелограмма равна S.
      36. Вершина С параллелограмма ABCD соединена с серединой L стороны
АВ. На отрезке LC взяты точки М и N так, что отрезок ВМ параллелен отрезку
DN (точка M лежит между точками L и N). Найдите отношение площадей мно-
гоугольника ABMND и треугольника ВМС.
      37. На сторонах AD и DC параллелограмма ABCD взяты, соответственно,
точки N и M так, что AN : AD = 1 : 3, DM : DC = 1 : 4. Отрезки ВМ и СN пере-
секаются в точке О. Найти отношение ОМ : ОВ.
      38. На сторонах ВC и DA параллелограмма ABCD взяты точки К и L так,
что ВК : KC = DL : LA = k. Найдите отношение площади параллелограмма
АВСD к площади четырехугольника, являющегося общей частью треугольни-
ков AKD и BLC.