Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 180 стр.

                                     180

                                   Рис. 17.13
     15. Прямая, параллельная основанию треугольника, площадь которого
равна S, отсекает от него треугольник с площадью, равной q. Определить пло-
щадь четырехугольника, три вершины которого совпадают с вершинами мень-
шего треугольника, а четвертая лежит на основании большего треугольника.
       16. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на части,
площади которых относятся как 2 : 1, считая от вершины. В каком отношении
она делит боковые стороны?
       17. На каждой медиане треугольника взята точка, делящая медиану в от-
ношении 1 : 3, считая от вершины. Во сколько раз площадь треугольника с вер-
шинами в этих точках меньше площади исходного треугольника?
       18. Стороны треугольника АВС разделены точками M, N и Р так, что AM
: MB = BN : NC = CP : PA = 1 : 4. Найти отношение площади треугольника, ог-
раниченного прямыми AN, BP и СМ, к площади треугольника АВС.
       19. На медиане АА1 треугольника АВС взята точка М так, что
АМ : MA1 = 1 : 2. Прямая ВМ пересекает АС в точке N. Найти площадь тре-
угольника АВN, если площадь треугольника АВС равна 20 см.
       20. Дан треугольник АВС. На продолжениях сторон АВ, ВС и медианы
МВ за точку В взяты точки К, L, N, соответственно, так, что
BK : AB = 3 : 1, BL : CB + 5 : 1, BN : MB = 4 : 1. Доказать, что треугольники
АВС и KLN равновелики.
       21. Дан треугольник АВС, площадь которого равна S. Точки M, N – сере-
дины его сторон АС и АВ, соответственно. Точки Р и Q делят сторону ВС на
три равных отрезка так, что ВЗ = PQ = QC. Найдите площадь общей части че-
тырехугольника ANPQ и треугольника ВМС.
      22. На лучах АС и BD, содержащих диагонали четырехугольника ABCD,
отложены отрезки СС1 = АС и DD1 = BD. Найти отношение площади четырех-
угольника ABCD к площади четырехугольника ABC1D1.
       23. Точки M, N, P,Q – середины сторон четырехугольника ABCD. Дока-
зать, что площади четырехугольников MNPQ и ABCD относятся
как 1 : 2.
       24. Прямая m, параллельная диагонали АС четырехугольника ABCD и
проходящая через середину диагонали BD, пересекает сторону AD в точке Е.
Доказать, что отрезок СЕ делит четырехугольник ABCD на две равновеликие
фигуры.
       25. Через середину каждой диагонали выпуклого четырехугольника про-
водится прямая, параллельная другой диагонали. Эти прямые пересекаются в
точке О. Доказать, что отрезки, соединяющие точку О с серединами сторон че-
тырехугольника, делят его площадь на равные части.
       26. Площадь выпуклого четырехугольника ABCD равна S. Доказать, что
площадь четырехугольника, вершинами которого служат середины отрезков
АС, AD, BD и ВС, меньше 0,5S.