Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

178
Q
1
M
1
D
1
C
1
P
1
A
1
B
1
N
1
Q D C
M A B
P
N
Рис. 17.12
Из условия задачи, с учетом правил сложения векторов, получаем, что
векторы
1
MM,MNMQ, связаны с векторами
1
AAAB,AD, следующими со-
отношениями:
111
2,2, AAABMMAAABMNADMQ +=−== . Следовательно, с
учетом свойств смешанного произведения векторов, имеем
),,(5),,(
11
AAADABMMMNMQ −= . А это значит, что объем параллелепипеда
MNPQM
1
N
1
P
1
Q
1
в пять раз больше объема параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
.
Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
1. В квадрате ABCD площади S точки A
1
, B
1
, C
1
, D
1
служат серединами
сторон CD, DA, AB, BC. Найдите площадь четырехугольника, образованного
прямыми AA
1
, BB
1
,CC
1
, DD
1
. Можно ли эту задачу обобщить на случай парал-
лелограмма и почему?
2. Пусть в параллелограмме ABCD точка D
1
– середина АВ, точка А
1
ле-
жит на стороне DC, точка А
1
делит отрезок DC в отношении 1 : 3, прямые АА
1
и
DD
1
пересекаются в точке К. Найти площадь треугольника ADK, если площадь
параллелограмма ABCD равна
S.
3. Точки M, N, P, Q являются серединами сторон АВ, ВС, CD, AD ромба
АВСD. Вычислить площадь фигуры, являющуюся пересечением четырехуголь-
ников ABCD, ANCQ и BPDM, если площадь ромба равна 100 см
2
.
4. Точки M и N – середины сторон AD и DC параллелограмма ABCD. До-
казать, что отношение площадей треугольника BMN и параллелограмма равно
3/8.
5. Точки M и N – середины сторон CD и DA параллелограмма ABCD. 
                                      178




                              Q1

                     M1

                             D1                  C1                 P1

                        A1                  B1                 N1

               Q              D                   C

      M                   A                 B
                                                 P
                                            N

                                    Рис. 17.12
       Из условия задачи, с учетом правил сложения векторов, получаем, что
векторы MQ, MN, MM1 связаны с векторами AD, AB, AA1 следующими со-
отношениями: MQ = AD, MN = 2 AB − AA1 , MM 1 = AB + 2 AA1 . Следовательно, с
учетом       свойств          смешанного      произведения    векторов,   имеем
( MQ, MN , MM 1 ) = −5( AB, AD, AA1 ) . А это значит, что объем параллелепипеда
MNPQM1N1P1Q1 в пять раз больше объема параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.

     Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения

     1. В квадрате ABCD площади S точки A1, B1, C1, D1 служат серединами
сторон CD, DA, AB, BC. Найдите площадь четырехугольника, образованного
прямыми AA1, BB1,CC1, DD1. Можно ли эту задачу обобщить на случай парал-
лелограмма и почему?
      2. Пусть в параллелограмме ABCD точка D1 – середина АВ, точка А1 ле-
жит на стороне DC, точка А1 делит отрезок DC в отношении 1 : 3, прямые АА1 и
DD1 пересекаются в точке К. Найти площадь треугольника ADK, если площадь
параллелограмма ABCD равна S.
      3. Точки M, N, P, Q являются серединами сторон АВ, ВС, CD, AD ромба
АВСD. Вычислить площадь фигуры, являющуюся пересечением четырехуголь-
ников ABCD, ANCQ и BPDM, если площадь ромба равна 100 см2.
      4. Точки M и N – середины сторон AD и DC параллелограмма ABCD. До-
казать, что отношение площадей треугольника BMN и параллелограмма равно
3/8.
      5. Точки M и N – середины сторон CD и DA параллелограмма ABCD.

Страницы