Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 177 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

177
B
1
Рис. 17.11
Эта задача может быть обобщена на случай произвольного четырех-
угольника ABCD: на лучах DA, АВ, ВС, CD взяты точки A
1
, B
1
, C
1
, D
1
так, что
АА
1
= DA, BB
1
= AB, CC
1
= BC, CD
1
= CD. Найдите площадь получившегося
четырехугольника A
1
B
1
C
1
D
1
, если площадь данного четырехугольника ABCD
равна
S. Известно, что пространственным аналогом треугольника служит тетра-
эдр, а пространственным аналогом параллелограмма – параллелепипед. Ис-
пользуя аналогию, можно составить ряд пространственных задач, являющихся
обобщениями предыдущих планиметрических задач (рис. 17.12), например:
1. На лучах AD, DC, CB, BA, содержащих ребра тетраэдра ABCD, взяты
точки С
1
, В
1
, A
1
, D
1
такие, что DC
1
= AD, CB
1
= DC, BA
1
= CB,
AD
1
= BA. Найти отношение объема тетраэдра ABCD к объему тетраэдра
A
1
B
1
C
1
D
1
.
2. На лучах ВА, В
1
В, С
1
С, CD, AA
1
, A
1
B
1
, D
1
C
1
, DD
1
, содержащих соот-
ветствующие ребра параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, взяты точки M, N, P, Q,
M
1
, N
1
, P
1
, Q
1
такие, что AM = BA, BN = B
1
B, CP = C
1
C,
DQ = CD, A
1
M
1
= AA
1
, B
1
N
1
= A
1
B
1
, C
1
P
1
= D
1
C
1
, D
1
Q
1
= DD
1.
Доказать, что объ-
ем многогранника MNPQM
1
N
1
P
1
Q
1
в пять раз больше объема параллелепипеда
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
.
Один из способов поиска оптимального решения этих задач основывается
на теореме о геометрическом смысле смешанного произведения трех неком-
планарных векторов. Согласно этой теореме получаем, что
V
ABCD
=
mod(
111111
AC,DC,BC
)/6. Поскольку векторы
111111
AC,DC,BC
можно разло-
жить по некомланарным векторам
ADAC,AB, следующим образом:
,22
,32,3
11
1111
ADACABAC
ADACABDCABACBC
++−=
−+−=−=
то смешанное произведение (
111111
AC,DC,BC
) векторов
,
DC,BC
1111
11
AC
бу-
дет выражаться через смешанное произведение векторов
AB, ADAC, сле-
дующим образом:
(
111111
AC,DC,BC ) = –15 ( ADAC,AB, ).
А это значит, что объем тетраэдра A
1
B
1
C
1
D
1
в 15 раз больше объема дан-
ного тетраэдра.
Для того, чтобы доказать, что отношение объема параллелепипеда
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
к объему параллелепипеда MNPQM
1
N
1
P
1
Q
1
равно 1 : 5, необхо-
димо знать разложения векторов
1
MM,MNMQ, по некомпланарным векторам
1
AAAB,AD, . 
                                         177



                                                                      B1
                                      Рис. 17.11

      Эта задача может быть обобщена на случай произвольного четырех-
угольника ABCD: на лучах DA, АВ, ВС, CD взяты точки A1, B1, C1, D1 так, что
АА1 = DA, BB1 = AB, CC1 = BC, CD1 = CD. Найдите площадь получившегося
четырехугольника A1B1C1D1, если площадь данного четырехугольника ABCD
      S.
равна Известно,   что пространственным аналогом треугольника служит тетра-
эдр, а пространственным аналогом параллелограмма – параллелепипед. Ис-
пользуя аналогию, можно составить ряд пространственных задач, являющихся
обобщениями предыдущих планиметрических задач (рис. 17.12), например:
      1. На лучах AD, DC, CB, BA, содержащих ребра тетраэдра ABCD, взяты
точки С1, В1, A1, D1 такие, что DC1 = AD, CB1 = DC, BA1 = CB,
AD1 = BA. Найти отношение объема тетраэдра ABCD к объему тетраэдра
A1B1C1D1.
      2. На лучах ВА, В1В, С1С, CD, AA1, A1B1, D1C1, DD1, содержащих соот-
ветствующие ребра параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, взяты точки M, N, P, Q,
M1, N1, P1, Q1 такие, что AM = BA, BN = B1B, CP = C1C,
DQ = CD, A1M1 = AA1, B1N1 = A1B1, C1P1 = D1C1, D1Q1 = DD1. Доказать, что объ-
ем многогранника MNPQM1N1P1Q1 в пять раз больше объема параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1.
      Один из способов поиска оптимального решения этих задач основывается
на теореме о геометрическом смысле смешанного произведения трех неком-
планарных векторов. Согласно этой теореме получаем, что VABCD =
mod( C1B1 , C1D1 , C1A1 )/6. Поскольку векторы C1B1, C1D1, C1A1 можно разло-
жить по некомланарным векторам AB, AC, AD следующим образом:
                C1 B1   =   AC   − 3 AB, C1 D1   = − 2 AB + 3 AC −   AD,
                C1 A1   = − 2 AB +    AC + 2 AD,
то смешанное произведение ( C1B1, C1D1, C1A1 ) векторов C1B1, C1D1, C1A1 бу-
дет выражаться через смешанное произведение векторов AB, AC, AD сле-
дующим образом:
                   ( C1B1 , C1D1 , C1A1 ) = –15 ( AB, AC, AD ).
      А это значит, что объем тетраэдра A1B1C1D1 в 15 раз больше объема дан-
ного тетраэдра.
      Для того, чтобы доказать, что отношение объема параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 к объему параллелепипеда MNPQM1N1P1Q1 равно 1 : 5, необхо-
димо знать разложения векторов MQ, MN, MM1 по некомпланарным векторам
AD, AB, AA1 .

Страницы