Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

175
условие, можно показать, что для любого четырехугольника ABCD найдется
четырехугольник A`B`C`D` с взаимно перпендикулярными диагоналями, аф-
финно-эквивалентный данному. Если E` середина диагонали A`C`, F` середина
диагонали B`D`, а O` точка пересечения прямых, проходящих через точки E` и
F` и параллельных соответственно диагоналям B`D` и A`C`, то длина перпенди-
куляра, опущенного из точки O` на прямую M`N`, равна длине перпендикуляра,
опущенного из точки E`
на эту же прямую. А это значит, что площадь тре-
угольника O`M`N` равна площади треугольника E`M`N`. Следовательно, четы-
рехугольники O`M`C`N` и E`M`C`N` равновелики как четырехугольники, со-
ставленные из соответственно равновеликих треугольников. Найдем площадь
четырехугольника E`M`C`N` (рис. 17.10). Диагонали E`C` и M`N` этого четы-
рехугольника взаимно перпендикулярны и связаны с диагоналями четырех-
угольника A`B`C`D` следующими соотношениями: E`C` = 0,5 A`C`, M`N` = 0,5
B`D`.
B`
Q`
A`
M`
E`
O` C`
P` F`
N`
D`
Рис. 17.10
Следовательно, S
E`M`C`N`
= 0,5 E`C`⋅ M`N` = 0,125 A`C`⋅ B`D`=
= 0,25
S
A`B`C`D`
. Аналогичным образом можно показать, что
S
O`M`B`Q`
= S
F`M`B`Q`
= 0,25 S
A`B`C`D`
,
S
O`Q`A`P`
= S
E`Q`A`P`
= 0,25 S
A`B`C`D`
,
S
O`P`D`N`
= S
F`P`D`N`
= 0,25 S
A`B`C`D`.
Откуда, получаем, что S
E`M`C`N`
: S
A`B`C`D`
= S
O`M`B`Q`
: S
A`B`C`D`
=
=
S
O`Q`A`P`
: S
A`B`C`D`
= S
O`P`D`N`
: S
A`B`C`D`
= 0,25.
При аффинном преобразовании, переводящем четырехугольник A`B`C`D`
в аффинно-эквивалентный ему четырехугольник ABCD, отношение площадей
аффинно-эквивалентных фигур сохраняется. Следовательно,
S
EMCN
= S
OMBQ
= 
                                     175

условие, можно показать, что для любого четырехугольника ABCD найдется
четырехугольник A`B`C`D` с взаимно перпендикулярными диагоналями, аф-
финно-эквивалентный данному. Если E` середина диагонали A`C`, F` середина
диагонали B`D`, а O` точка пересечения прямых, проходящих через точки E` и
F` и параллельных соответственно диагоналям B`D` и A`C`, то длина перпенди-
куляра, опущенного из точки O` на прямую M`N`, равна длине перпендикуляра,
опущенного из точки E` на эту же прямую. А это значит, что площадь тре-
угольника O`M`N` равна площади треугольника E`M`N`. Следовательно, четы-
рехугольники O`M`C`N` и E`M`C`N` равновелики как четырехугольники, со-
ставленные из соответственно равновеликих треугольников. Найдем площадь
четырехугольника E`M`C`N` (рис. 17.10). Диагонали E`C` и M`N` этого четы-
рехугольника взаимно перпендикулярны и связаны с диагоналями четырех-
угольника A`B`C`D` следующими соотношениями: E`C` = 0,5 A`C`, M`N` = 0,5
B`D`.

                                              B`
                               Q`
                  A`
                                                    M`
                          E`


                         O`                        C`
                  P`                F`


                                     N`




                    D`

                                 Рис. 17.10
       Следовательно, SE`M`C`N` = 0,5 E`C`⋅ M`N` = 0,125 A`C`⋅ B`D`=
= 0,25 SA`B`C`D`. Аналогичным образом можно показать, что
                                 SO`M`B`Q` = SF`M`B`Q` = 0,25 SA`B`C`D`,
                                  SO`Q`A`P` = SE`Q`A`P` = 0,25 SA`B`C`D`,
                                  SO`P`D`N` = SF`P`D`N` = 0,25 SA`B`C`D`.
       Откуда, получаем, что SE`M`C`N` : SA`B`C`D` = SO`M`B`Q` : SA`B`C`D` =
= SO`Q`A`P` : SA`B`C`D` = SO`P`D`N` : SA`B`C`D` = 0,25.
       При аффинном преобразовании, переводящем четырехугольник A`B`C`D`
в аффинно-эквивалентный ему четырехугольник ABCD, отношение площадей
аффинно-эквивалентных фигур сохраняется. Следовательно, SEMCN = SOMBQ =

Страницы