Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 173 стр.

                                      173

жит прямой SM. Таким образом, мы показали, что все равнобочные трапеции
обладают тем аффинным свойством, что точки пересечения их боковых сторон,
пересечения диагоналей и середины оснований лежат на одной прямой. Под
действием аффинного преобразования равнобочная трапеция переходит в аф-
финно-эквивалентную ей, необязательно равнобочную трапецию. Следователь-
но, этим свойством обладают и все трапеции.


                                     S




                           D                     C

                                         О



                       А                 М               В
                                   Рис. 17.7

      Пример 11. Найти отношение оснований трапеции, если известно, что ее
средняя линия делится диагоналями на три равные части.
      Решение. Условие задачи из множества всех трапеций выделяет подмно-
жество, состоящее из тех трапеций, у которых средняя линия делится диагона-
лями на три равные части. Для того чтобы найти отношение оснований трапе-
ции, достаточно рассмотреть задачу, сформулированную для равнобочной тра-
пеции (Рис.17.8).


                       D                             C


                   M           P             Q           N


               A                                             B
                                   Рис.17.8
      Рассмотрим треугольник ADC. Поскольку МР в этом треугольнике явля-
ется средней линией, то DC = 2 ⋅ MP . Теперь рассмотрим треугольник АВС. В
этом треугольнике PN является средней линией. Поэтому AB = 2 ⋅ PN . По усло-
вию задачи MP = PQ = QN . Следовательно, AB = 4 ⋅ MP . Откуда получаем, что