Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 171 стр.

                                        171

позволяет найти площадь треугольника и определить ее отношение к площади
квадрата. Используя аффинное преобразование, переводящее квадрат в парал-
лелограмм, получаем, что отношение площади треугольника AER к площади
параллелограмма ABCD равно 1/9.

      Пример 8. На сторонах AВ и AD параллелограмма ABCD взяты точки M
и N так, что AM : AB = AN : AD = 1 : α. Найти отношение площади четырех-
угольника AMNC к площади треугольника NDC. При каком значении α эти фи-
гуры равновелики?
      Решение. Прежде всего заметим, что параллелограмм ABCD, точки М, N
и отношение площадей носят аффинно-инвариантный характер. Что позволяет
осуществить переход от задачи более общего характера к задаче более частного
вида. В данной ситуации новая задача будет состоять в следующем: на сторонах
АВ и AD квадрата ABCD взяты точки M и N так, что AM : AB = AN : AD = 1 : α
(рис. 17.5). Найти отношение площади четырехугольника AMNC к площади
треугольника NDC. При каком значении α эти фигуры равновелики?
      Если принять длину стороны квадрата за единицу измерения, то можно
показать, что SNDC = (α – 1) : 2α. Поскольку SAMNC = SABCD – 2SNDC, то SAMNC = 1 :
α. Следовательно, SAMNC : SNDC = 2 : (α – 1).

                              В                 С




                            М
                                А   N           D
                                    Рис. 17.5
       Заметим, что если α=2, то отношение площадей равно 1 и мы получаем,
что треугольник NDC и четырехугольник AMNC равновелики.
       Пример 9. Пусть Е и F – середины сторон ВС и AD параллелограмма
ABCD. Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми АЕ, ED,
BF, FC, если известно, что площадь ABCD равна S.
      Решение. В качестве аффинно-инвариантной величины в данном случае
выступает отношение площадей. Под действием аффинного преобразования
параллелограмм ABCD переходит в параллелограмм. Можно найти такое аф-
финное преобразование, которое переведет параллелограмм в квадрат. Если
данную задачу сформулировать для квадрата и найти, во сколько раз площадь
квадрата больше площади искомого четырехугольника, то первоначальная за-
дача тоже будет решена. Обозначим через М точку пересечения отрезков AE и
BF, через N точку пересечения отрезков ED и FC (рис. 17.6). Нетрудно пока-
зать, что треугольники AMВ и DNC попарно равны, и более того, площадь ка-
ждого треугольника в два раза меньше площади ромба MNEF. А это значит, что