Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 169 стр.

                                     169

четырехугольника A`D`M`E` в 3 раза меньше площади правильного треуголь-
ника A`B`C`. Теперь рассмотрим треугольник B`C`M`. Площадь этого тре-
угольника равна разности площади треугольника A`B`C` и суммы площадей
треугольников D`C`M`, M`B`E` и четырехугольника A`D`M`E`. Поскольку тре-
угольники D`C`M и M`B`E` равны и сумма их площадей равна площади четы-
рехугольника A`D`M`E`, то площадь треугольника B`C`M` равна 1/3 площади
треугольника A`B`C`. Таким образом, получаем, что отношение площади четы-
рехугольника A`D`M`E` к площади треугольника B`C`M` равна 1.
       Правильный треугольник аффинно-эквивалентен любому треугольнику,
при этом отношение площадей сохраняется, значит, утверждение, доказанное
для правильного треугольника, справедливо и для любого треугольника. По-
скольку все треугольники аффинно-эквивалентны между собой, то можно ут-
верждать, что если медианы правильного треугольника пересекаются в одной
точке, то медианы любого треугольника тоже пересекаются в одной точке; если
медианы правильного треугольника разбивают его на шесть равновеликих тре-
угольников, то медианы любого треугольника делят его на шесть равновеликих
треугольников.
       Пример 6. Точка Q принадлежит диагонали АС параллелограмма ABCD.
Проведена прямая m, параллельная стороне АВ, которая пересекает сторону ВС
в точке R. Доказать, что треугольники ABR и ADQ равновелики.
       Решение. Существует аффинное преобразование плоскости, которое пе-
реводит параллелограмм в квадрат. Сформулированное требование задачи рав-
носильно тому, что отношение площади треугольника АВR к площади тре-
угольника ADQ равно 1. Как известно, если при аффинном преобразовании од-
на плоская фигура переходит в другую, то отношение их площадей сохраняет-
ся. Таким образом, данную задачу можно свести к более простой, аффинно-
эквивалентной данной: если точка О` принадлежит диагонали А`С` квадрата
A`B`C`D`, то треугольники А`R`В` и A`Q`D` равновелики. Аффинным преобра-
зованием переведем параллелограмм ABCD в квадрат A`B`C`D`. При этом точ-
ка Q перейдет в точку Q`, а прямая m – в прямую m`. Значит точка R = m ∩ BC
перейдет в точку R` = m`∩B`C`, треугольник ARB перейдет в треугольник
А`R`В`, а треугольник AQD перейдет в треугольник A`Q`D`
(рис.     17.3).  Треугольник     A`B`R`    прямоугольный,     следовательно,
SΔA`B`R` = 0,5A`B`⋅ B`R`. В треугольнике A`D`Q` отрезок Q`E` перпендикулярен
стороне A`D`, следовательно, SΔA`D`Q` = 0,5 A`D`⋅Q`E`. Поскольку треугольник
A`Q`E` равнобедренный прямоугольный с основанием A`Q`, значит, A`E` = Q`E`.
C другой стороны, отрезок A`E` равен отрезку B`R`, следовательно, E`Q` =
B`R`.

                       B`                  R`        C`



                                                Q`