Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 167 стр.

                                            167

                            ⎧       1         1
                            ⎪  x  −   x ` y −   y`
                                    6         6
                            ⎪3 5 −           5
                                                   +1 = 0
                            ⎪
                            ⎨
                            ⎪      6         6
                            ⎪ x` − x y ` − y
                            ⎪⎩ 2 = 1 .

      Разрешив эту систему относительно х` и y`, получим, что
                                  ⎧ x` = 7 x − 2 y + 2
                                  ⎨
                                  ⎩ y ` = 3 x + 1.

     Пример 3. Доказать, что если при аффинном преобразовании точка А →
В, В → С, С → D, D → E, E → A, то каждая диагональ пятиугольника парал-
лельна одной из его сторон.
     Решение. Обозначим через S площадь треугольника АВС. Данное аф-
финное преобразование переводит аффинный репер R = (A, B, C) в аффинный
репер R` = (B, C, D). Известно, что относительно репера R точки В и С имеют
следующие координаты В(1, 0), С(0, 1). Пусть относительно этого репера точка
D имеет координаты (d1, d2). Найдем формулы аффинного преобразования,
переводящего репер R в репер R`. Так как BC(−1, 1), BD(d 1 − 1, d 2 ), то
                                  x` = − x + (d1 − 1) y + 1,
                                  y` = x + d 2 y.

       Откуда можно выразить площадь треугольника BCD через площадь S тре-
угольника АВС. Получим, что SΔBCD = (–d1 – d2 + 1)S. Аналогичным образом
можно получить, что SΔCDE = (–d1 – d2 + 1)2S, SΔDEA =
= (–d1 – d2 + 1)3S, SΔEAB = (–d1 – d2 + 1)4S, SΔABC = (–d1 – d2 + 1)5 S. Из последнего
равенства получаем, что (–d1 – d2 + 1)5 = 1 или d1 = – d2. А это значит, что тре-
угольники АВС, BCD, CDE, DEA, EAB равновелики. Из равновеликости тре-
угольников АВС и BCD следует, что диагональ AD параллельна стороне ВС, а
из равновеликости треугольников BCD и CDE следует, что диагональ ВЕ па-
раллельна стороне CD. Таким образом, мы получили что из равновеликости
треугольников CDE и DEA следует, что диагональ АС параллельна стороне ED,
а из равновеликости треугольников DEA и AEB следует, что диагональ BD па-
раллельна стороне АЕ.
       Пример 4. На диагонали АС параллелограмма ABCD взята точка Р. Дока-
зать, что треугольник ADP равновелик треугольнику АРВ.
       Решение. На стороне АВ параллелограмма АВСD построим квадрат
A`B`C`D`. Рассмотрим перспективно-аффинное преобразование, переводящее
параллелограмм ABCD в квадрат A`B`C`D`, заданное осью АВ и парой соответ-
ственных точек D и D`(рис. 17.1). При этом преобразовании точка Р перейдет в
точку P`, а треугольники ADP и АРВ перейдут в треугольники AD`P` и AP`B,