Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 166 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

166
точка М
0
имеет координаты М
0
(3, 0, 2). По определению перспективно-
аффинного преобразования, точка М
0
делит отрезок ММ` в том же самом от-
ношении, что и точка А
0
делит отрезок АА`, т.е. в отношении λ = 2. Используя
формулы деления отрезка в данном отношении, находим, что точка М` – образ
точки М при перспективно-аффинном преобразовании с плоскостью
α, имеет
координаты М`
)2 ,
2
1
,4(
.
Пример 2. Найти координатное задание перспективно-аффинного преоб-
разования плоскости, если в АСК O
e
1
e
2
ось m преобразования задана уравнени-
ем 3
х – у + 1 = 0, и известно, что точка М
0
(1, 3) переходит в точку M
0
`(3, 4).
Решение. Найти координатное задание перспективно-аффинного преоб-
разования: это значит найти формулы, устанавливающие связь между коорди-
натами (
х, у) любой точки M и координатами (х`, y`) ее образа M`.
Как следует из определения перспективно-аффинного преобразования,
каждый отрезок, определяемый любой точкой и ее образом, делится в точке пе-
ресечения с осью в одном и том же отношении. Используя координаты точек
М
0
и М
0
`, находим, что точка пересечения отрезка М
0
М
0
` имеет координаты
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
λ+
λ+
=
λ+
λ+
=
.
1
43
1
31
y
x
Поскольку эта точка принадлежит оси перспективно-аффинного преобра-
зования, значит, ее координаты удовлетворяют ее уравнению. Таким образом,
получаем уравнение
,01
1
43
1
3 1
3 =+
λ
+
λ
+
−
λ
+
λ
+
из которого посредством элементарных преобразований можно получить, что
6
1
−=λ
. Как было уже отмечено раннее, отрезок ММ` с концами в соответст-
венных точках перспективно-аффинного преобразования в точке пересечения с
его осью делится в том же самом отношении
6
1
−=λ
. Выразим координаты
этой точки через координаты точек М и М` и отношение
λ
, а затем получен-
ные выражения подставим в уравнение оси, получим одно уравнение, связы-
вающее координаты точки М и ее образа. Для получения второго уравнения,
связывающего координаты этих точек, воспользуемся тем, что векторы
`MM
00
и
`MM коллинеарны, значит, их соответствующие координаты пропорцио-
нальны. Таким образом, получили систему, связывающую координаты точки М
с
координатами ее образа: 
                                        166

точка М0 имеет координаты М0(3, 0, 2). По определению перспективно-
аффинного преобразования, точка М0 делит отрезок ММ` в том же самом от-
ношении, что и точка А0 делит отрезок АА`, т.е. в отношении λ = 2. Используя
формулы деления отрезка в данном отношении, находим, что точка М` – образ
точки М при перспективно-аффинном преобразовании с плоскостью α, имеет
                  1
координаты М` (4, , 2) .
                  2
      Пример 2. Найти координатное задание перспективно-аффинного преоб-
разования плоскости, если в АСК Oe1e2 ось m преобразования задана уравнени-
ем 3х – у + 1 = 0, и известно, что точка М0(1, 3) переходит в точку M0`(3, 4).
      Решение. Найти координатное задание перспективно-аффинного преоб-
разования: это значит найти формулы, устанавливающие связь между коорди-
натами (х, у) любой точки M и координатами (х`, y`) ее образа M`.
      Как следует из определения перспективно-аффинного преобразования,
каждый отрезок, определяемый любой точкой и ее образом, делится в точке пе-
ресечения с осью в одном и том же отношении. Используя координаты точек
М0 и М0`, находим, что точка пересечения отрезка М0М0` имеет координаты
                                   ⎧       1 + 3λ
                                   ⎪⎪  x =
                                           1+ λ
                                    ⎨
                                    ⎪ y = 3 + 4λ .
                                    ⎪⎩      1+ λ
     Поскольку эта точка принадлежит оси перспективно-аффинного преобра-
зования, значит, ее координаты удовлетворяют ее уравнению. Таким образом,
получаем уравнение
                               1 + 3λ 3 + 4λ
                           3         −       + 1 = 0,
                                1+ λ   1+ λ
из которого посредством элементарных преобразований можно получить, что
     1
λ = − . Как было уже отмечено раннее, отрезок ММ` с концами в соответст-
     6
венных точках перспективно-аффинного преобразования в точке пересечения с
                                                        1
его осью делится в том же самом отношении λ = − . Выразим координаты
                                                        6
этой точки через координаты точек М и М` и отношение λ , а затем получен-
ные выражения подставим в уравнение оси, получим одно уравнение, связы-
вающее координаты точки М и ее образа. Для получения второго уравнения,
связывающего координаты этих точек, воспользуемся тем, что векторы M 0 M 0 `
и MM` коллинеарны, значит, их соответствующие координаты пропорцио-
нальны. Таким образом, получили систему, связывающую координаты точки М
с
координатами ее образа:

Страницы